极限初探

前言

这篇文章最初写于 2022 年 9 月 10 日。2023 年 9 月 24 日初次改写为博文。

过程不太严谨，但一定程度上反映了我的思考。只进行了部分格式修正以适应博文格式，未进行内容的修改。

下面使用标准的极限定义：$\varepsilon$-$\delta$ 语言

$\forall_{\varepsilon > 0},\exist_{\delta > 0},\forall_{\left\vert x-a\right\vert < \delta},|f(x) - L| < \varepsilon \iff \lim\limits_{x \to a}f(x)=L$

引语

知道极限许久，却一直记不住准确定义。前几天从残存的记忆中拼凑出来了（虽然两个符号用反了），因此借此巩固对极限的理解。

根据定义出发，本文将要证明三个定理

1. 常：$\lim\limits_{x \to a}kf(x) = k\lim\limits_{x \to a}f(x)$
2. 和：$\lim\limits_{x \to a}\left[f(x) + g(x)\right] = \lim\limits_{x \to a}f(x) + \lim\limits_{x \to a}g(x)$
3. 积：$\lim\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right] = \lim\limits_{x \to a}f(x)\cdot \lim\limits_{x \to a}g(x)$

此外，为简化问题，定义 $\lim\limits_{x \to a}f(x)=F,\,\lim\limits_{x \to a}g(x)=G$，且 $F,G \in \R$

常 1

$k=0$ 显然成立，因此先证明 $k > 0$ 的情形

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)=F \iff \forall_{\varepsilon>0},\exist_{\delta>0},\forall_{|x-a|<\delta},|f(x) - F| < \varepsilon$$

那么有 $|kf(x) - kF| < k \varepsilon$

当 $k\le 1$ 时，有 $k \varepsilon \le \varepsilon$

那么有

$$\forall_{\varepsilon>0},\exist_{\delta>0},\forall_{|x-a|<\delta},|kf(x) - kF| < \varepsilon$$

也即 $\lim\limits_{x \to a}kf(x)=kF=k \lim\limits_{x \to a}f(x)$

和

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)=F \iff \forall_{\varepsilon>0},\exist_{\delta_1>0},\forall_{|x-a|<\delta_1},|f(x) - F| < \varepsilon\\ \lim\limits_{x \to a}g(x)=G \iff \forall_{\varepsilon>0},\exist_{\delta_2>0},\forall_{|x-a|<\delta_2},|g(x) - G| < \varepsilon$$

取 $\delta = \min\{\delta_1,\,\delta_2\}$

那么

$$\forall_{\varepsilon>0},\exist_{\delta>0},\forall_{|x-a|<\delta},\\ \begin{aligned} |f(x) - F| < \varepsilon,\,|g(x) - G| < \varepsilon &\iff F - \varepsilon < f(x) < F + \varepsilon,\,G-\varepsilon < g(x) < G + \varepsilon\\ &\iff F + G - 2 \varepsilon < f(x) + g(x) < F + G + 2 \varepsilon\\ &\iff \left\vert \dfrac{f(x) + g(x)}{2} - \dfrac{F + G}{2}\right\vert < \varepsilon\\ &\iff \lim\limits_{x \to a}\left[ \dfrac{f(x) + g(x)}{2}\right ] = \dfrac{F + G}{2}\\ &\iff \dfrac{1}{2}\lim\limits_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \dfrac{F + G}{2}\\ &\iff \lim\limits_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim\limits_{x \to a}f(x) + \lim\limits_{x \to a}g(x) \end{aligned}$$

常 2

$k > 1$ 时，记 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}k_i=k,\,\forall_{i},0<k_i\le 1$

那么

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to a}kf(x) &= \lim\limits_{x \to a}\left[\sum_{i=1}^{n}k_if(x)\right]\\ &=\sum_{i=1}^{n}\left[ \lim\limits_{x \to a}k_if(x)\right ]\\ &=\sum_{i=1}^{n}\left[k_i \lim\limits_{x \to a}f(x)\right]\\ &=\sum_{i=1}^{n}k_iF\\ &=kF\\ &=k \lim\limits_{x \to a}f(x) \end{aligned}$$

$k< 0$ 情况同理，此处证明略。（稿纸有写，但我没时间敲了）

积

先证明一种简单情形，即 $F=G=0$

则

$$\forall_{\varepsilon>0},\exist_{\delta>0},\forall_{|x-a|<\delta},|f(x)| < \varepsilon,\,|g(x)| < \varepsilon \iff |f(x)\cdot g(x)| < \varepsilon^2$$

$\varepsilon \le 1$ 时有 $|f(x)\cdot g(x)| < \varepsilon^2 \le \varepsilon$，记此时的 $\delta=\Delta(\varepsilon)$，$\varepsilon > 1$ 时取 $\delta = \Delta(1)$，则有 $|f(x)\cdot g(x)| < 1 < \varepsilon$ 也成立

因此

$$\lim\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=0$$

那么

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right] &= \lim\limits_{x \to a}\left[\left( f(x) - F\right )\left( g(x) - G\right )\right] + F \lim\limits_{x \to a}g(x) + G \lim\limits_{x \to a}f(x) - FG\\ &=0 + FG + FG -FG\\ &=FG\\ &=\lim\limits_{x \to a}f(x)\cdot \lim\limits_{x \to a}g(x) \end{aligned}$$