预备知识

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第 1 章 极限与连续性

1.1 预备知识

一、常用集合

N\N：从 11 开始的自然数集合（即正整数集合）

N0\N_0：从 00 开始的自然数集合（即自然数集合）

二、逻辑符号介绍

∃!\exist !：存在且唯一。

□\square：证明或解答完毕。

1.1.1 集合

补集的四种写法：

  1. 标准写法：∁UA\complement_UA
  2. 教材写法：CUAC_UA
  3. 老师写法（省略全集）：ACA^C
  4. 个人写法（省略全集）：Aˉ\bar{A}

1.1.2 数学归纳法·不等式·极坐标系·复数

一、数学归纳法

第一数学归纳法

  1. 证明 n=1n=1 时命题 P(1)P(1) 成立
  2. 假设 n⩾2n\ge 2 时，命题 P(n−1)P(n-1) 成立，由此推得 P(n)P(n) 成立

则命题 P(n)P(n) 对所有 n∈Nn \in \N 成立。

第二数学归纳法

  1. 证明 n=1n=1 时命题 P(1)P(1) 成立
  2. 假设 n⩾2n\ge 2 时，命题 P(1), …, P(n−1)P(1),\, \dots ,\,P(n-1) 成立，由此推得 P(n)P(n) 成立

则命题 P(n)P(n) 对所有 n∈Nn \in \N 成立。

二、不等式
  1. 三角不等式

∣∣a∣−∣b∣∣⩽∣a±b∣⩽∣a∣+∣b∣\bigl\lvert |a|-|b|\bigr\rvert \le |a\pm b|\le |a|+|b|

  1. Bernoulli 不等式

ai>−1a_i>-1 且符号相同。

∏i=1n(1+ai)⩾1+∑i=1nai\prod_{i=1}^{n}(1+a_i)\ge 1+\sum_{i=1}^{n}a_i

证明：

使用第一数学归纳法证明。

n=1n=1 时显然成立。下证 n−1n-1 时命题成立能推出 nn 时命题成立。

∏i=1n(1+ai)=(1+an)∏i=1n−1(1+ai)⩾(1+an)(1+∑i=1n−1ai)=1+∑i=1nai+an∑i=1n−1ai⩾1+∑i=1nai\begin{aligned} \prod_{i=1}^{n}(1+a_i)&=(1+a_n)\prod_{i=1}^{n-1}(1+a_i)\\ &\ge (1+a_n)\left(1+\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)\\ &=1+\sum_{i=1}^{n}a_i+a_n \sum_{i=1}^{n-1}a_i\\ &\ge 1+\sum_{i=1}^{n}a_i \end{aligned}

□\tag*{$\square$}

由此得对任意 n∈Nn \in\N，有不等式成立。取等条件为 n=1n=1 或 a1=⋯=an=0a_1=\dots=a_n=0。

  1. Minkowski 不等式

∑i=1n(ai+bi)2⩽∑i=1nai2+∑i=1nbi2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)^{2}}\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}

证明：

即证

∑i=1n(ai+bi)2⩽∑i=1nai2+∑i=1nbi2+2∑i=1nai2∑i=1nbi2\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)^2\le \sum_{i=1}^{n}a_i^2+\sum_{i=1}^{n}b_i^2+2 \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}

即证

∑i=1naibi⩽∑i=1nai2∑i=1nbi2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}

□\tag*{$\square$}

由 Cauchy-Schwarz 不等式立得证。

1.1.3 区间·邻域·数集的界

设 δ>0\delta>0，则称 (x0−δ, x0+δ)(x_0-\delta,\,x_0+\delta) 为 x0x_0 的 δ\delta 邻域，简称 x0x_0 的邻域，记为 Nδ(x0)N_{\delta}(x_0)。

称 Nδ(x0)\{x0}N_{\delta}(x_0)\backslash \lbrace x_0 \rbrace 为 x0x_0 的 δ\delta 去心邻域，简称 x0x_0 的去心邻域，记为 N˚δ(x0)\mathring{N}_{\delta}(x_0)。

称 (x0, x0+δ)(x_0,\,x_0+\delta) 为 x0x_0 的右邻域，记为 Nδ+(x0)N_{\delta}^{+}(x_0)；(x0−δ, x0)(x_0-\delta,\,x_0) 为 x0x_0 的左邻域，记为 Nδ−(x0)N_{\delta}^{-}(x_0)。

设 MM 为充分大的正数，则称 U(∞)={x∣∣x∣>M}U(\infty )=\lbrace x \mid |x|>M\rbrace 为 ∞\infty 邻域；U(+∞)={x∣x>M}U(+\infty )=\lbrace x \mid x>M\rbrace 为 +∞+\infty 邻域；U(−∞)={x∣x<−M}U(-\infty )=\lbrace x\mid x< -M\rbrace 为 −∞-\infty 邻域。

若数集 SS 既有上界又有下界，则称 SS 为有界集合；上无界集合和下无界集合统称无界集合。

确界存在定理：每一个非空上有界（或下有界）集合必有唯一的实数作为其上确界（或下确界）。

SS 上确界记为 sup⁡S\sup S；SS 下确界记为 inf⁡S\inf S。