极限定义与有关定理

发表于 更新于 Waline： 阅读次数： 本文字数： 1.6k 阅读时长 ≈ 6 分钟

最近上课没怎么听了，都在写题目。因此笔记也就瞎记了。

1.2 极限

子数列

设有数列 {xn}\left\lbrace x_n \right\rbrace，从 {xn}\left\lbrace x_n \right\rbrace 中抽出无穷多项，按其在原数列的顺序排成的新数列称为 {xn}\left\lbrace x_n \right\rbrace 的一个子数列或部分数列。

定理 1.2.6

设 lim⁡n→∞xn=A∈R\lim\limits_{n \to \infty}x_n=A \in \R，{xnk}\left\lbrace x_{n_k} \right\rbrace 是 {xn}\left\lbrace x_n \right\rbrace 的一个子数列，则

lim⁡k→∞xnk=A\lim\limits_{k \to \infty}x_{n_k}=A

推论 1.2.7

若某数列有两个取不同极限的子数列，则该数列发散。

定理 1.2.9（有界性）

若 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A，则存在点 x0x_0 的某去心邻域 N˚δ0(x0)\mathring{N}_{\delta_0}(x_0) 使得 f(x)f(x) 在该邻域内有界。

定理 1.2.10（唯一性）

若 lim⁡x→x0f(x)=A, lim⁡x→x0f(x)=B\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A,\, \lim\limits_{x \to x_0}f(x)=B，则 A=BA=B。

证明：反证法。

若 A≠BA\ne B，取 ε=∣B−A∣2>0\varepsilon=\dfrac{\left\lvert B-A \right\rvert}{2}>0。

由 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A 与 lim⁡x→x0f(x)=B\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=B 可得，∃δ>0\exist_{\delta > 0}，当 0<∣x−x0∣<δ0<\left\lvert x-x_0 \right\rvert<\delta 时，有 ∣f(x)−A∣<ε, ∣f(x)−B∣<ε\left\lvert f(x)-A \right\rvert<\varepsilon,\,\left\lvert f(x)-B \right\rvert<\varepsilon，但 2ε=∣B−A∣=∣B−f(x)+f(x)−A∣⩽∣f(x)−B∣+∣f(x)−A∣<2ε2 \varepsilon=\left\lvert B-A \right\rvert=\left\lvert B-f(x)+f(x)-A \right\rvert\le \left\lvert f(x)-B \right\rvert+\left\lvert f(x)-A \right\rvert<2 \varepsilon，矛盾！

定理 1.2.14

lim⁡x→x0f(x)=A  ⟺  \lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A\iff 对任何数列 {xn}\left\lbrace x_n \right\rbrace，且 xnx_n 在 x0x_0 的某去心邻域内，lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x_0，有 lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)=A。

证明：

  ⟹  \implies ：

设 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A，则 ∀ε>0, ∃δ>0\forall_{\varepsilon>0},\,\exist_{\delta > 0}，当 0<∣x−x0∣<δ0<\left\lvert x-x_0 \right\rvert<\delta 时，有 ∣f(x)−A∣<ε\left\lvert f(x)-A \right\rvert<\varepsilon。

因为 lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x_0，所以 ∀δ>0, ∃N∈N\forall_{\delta > 0},\,\exist_{N \in \N}，当 n>Nn>N 时，有 ∣xn−x0∣<δ\left\lvert x_n-x_0 \right\rvert<\delta。

于是当 n>Nn>N 时，有 ∣f(xn)−A∣<ε\left\lvert f(x_n)-A \right\rvert<\varepsilon，即 lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)=A。

  ⟸  \impliedby ：

用反证法证明。

设 lim⁡x→x0f(x)≠A\lim\limits_{x \to x_0}f(x)\ne A，则 ∃ε0>0\exist_{\varepsilon_0>0}，∀δ>0, ∃xˉn∈N˚δ(x0)\forall_{\delta > 0},\,\exist_{\bar{x}_n \in \mathring{N}_{\delta}(x_0)}，有 ∣f(xˉn)−A∣⩾ε0\left\lvert f(\bar{x}_n)-A \right\rvert \ge \varepsilon_0。

取 δ=1n\delta=\dfrac{1}{n}，因为 0<∣xˉn−x0∣<δ0<\left\lvert \bar{x}_n-x_0 \right\rvert<\delta，所以 lim⁡n→∞xˉn=x0\lim\limits_{n \to \infty}\bar{x}_n=x_0。

但 lim⁡n→∞f(xˉn)≠A\lim\limits_{n \to \infty}f(\bar{x}_n)\ne A，与条件矛盾！

δ=1n\delta=\dfrac{1}{n} 的选取是为了使得 lim⁡n→∞δ=0\lim\limits_{n \to \infty}\delta=0，从而使得 lim⁡n→∞xˉn=x0\lim\limits_{n \to \infty}\bar{x}_n=x_0。

推论 1.2.15

设 x0∈Rx_0 \in\R，N˚(x0)\mathring{N}(x_0) 为 x0x_0 的某去心邻域。若存在 xn, yn∈N˚(x0)x_n ,\, y_n \in \mathring{N}(x_0)，且 lim⁡n→∞xn=x0, lim⁡n→∞yn=x0\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x_0 ,\, \lim\limits_{n \to \infty}y_n =x_0，使得 lim⁡n→∞f(xn)=A, lim⁡n→∞f(yn)=B\lim\limits_{n \to \infty }f(x_n)=A,\,\lim\limits_{n \to \infty }f(y_n)=B，且 A≠BA\ne B，则 lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0}f(x) 不存在。

这周要赶工英语听说 Presentation，先到这里。等我应付完再来补笔记。

好了，我应付过了。还好没忘词，一看人就紧张，全程眼神四处乱飞就是不看人。

定理 1.2.21

lim⁡x→x0f(x)=A  ⟺  f(x)=A+α(x), lim⁡x→x0α(x)=0\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha(x),\, \lim\limits_{x \to x_0}\alpha(x) =0。

证明：

  ⟹  \implies ：

设 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A，则 ∀ε>0, ∃δ>0\forall_{\varepsilon>0},\,\exist_{\delta > 0}，当 0<∣x−x0∣<δ0<\left\lvert x-x_0 \right\rvert<\delta 时，有 ∣f(x)−A∣<ε\left\lvert f(x)-A \right\rvert<\varepsilon。

令 α(x)=f(x)−A\alpha(x)=f(x)-A，则 ∣α(x)∣<ε\left\lvert \alpha(x) \right\rvert<\varepsilon，即 lim⁡x→x0α(x)=0\lim\limits_{x \to x_0}\alpha(x) =0。

  ⟸  \impliedby ：

若 f(x)=A+α(x), lim⁡x→x0α(x)=0f(x)=A+\alpha(x),\, \lim\limits_{x \to x_0}\alpha(x)=0，则 ∀ε>0, ∃δ>0\forall_{\varepsilon>0},\,\exist_{\delta > 0}，当 0<∣x−x0∣<δ0<\left\lvert x-x_0 \right\rvert<\delta 时，有 ∣α(x)∣<ε\left\lvert \alpha(x) \right\rvert<\varepsilon。

而 α(x)=f(x)−A\alpha(x)=f(x)-A，所以 ∣f(x)−A∣<ε\left\lvert f(x)-A \right\rvert<\varepsilon，即 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A。

柯西准则

定理 1.2.27（数列极限的柯西准则）

数列 {xn}\left\lbrace x_n \right\rbrace 收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃N∈N\forall_{\varepsilon>0},\,\exist_{N \in \N}，当 m, n>Nm,\,n>N 时，有 ∣xm−xn∣<ε\left\lvert x_m-x_n \right\rvert<\varepsilon。

定理 1.2.28（函数极限的柯西准则）

lim⁡x→x0f(x)=A  ⟺  ∀ε>0, ∃δ>0\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A\iff \forall_{\varepsilon>0},\,\exist_{\delta > 0}，当 x, y∈N˚δ(x0)x,\,y \in \mathring{N}_{\delta}(x_0) 时，有 ∣f(x)−f(y)∣<ε\left\lvert f(x)-f(y) \right\rvert<\varepsilon。

我夹逼准则、单调有界准则都用过，但柯西准则一直没用过，因此记忆也不是很深刻。

无穷小量

定义 1.2.14

若 lim⁡αβ=0\lim \dfrac{\alpha}{\beta}=0，则称 α\alpha 是 β\beta 的高阶无穷小，记作 α=o(β)\alpha=o(\beta)。

若 lim⁡αβk=c(c≠0, k>0)\lim \dfrac{\alpha}{\beta^k}=c\quad\left(c\ne 0,\,k>0\right)，则称 α\alpha 是 β\beta 的 kk 阶无穷小。

若 k=1k=1，则称 α\alpha 是 β\beta 的同阶无穷小。

若 k=c=1k=c=1，则称 α\alpha 是 β\beta 的等价无穷小，记作 α∼β\alpha \sim \beta。

定义 1.2.15

在某极限过程中，选取 β\beta 为基准无穷小，若 α∼cβk(c≠0, k>0)\alpha \sim c \beta^k\quad\left(c\ne 0,\, k>0\right)，则称 cβkc \beta^k 为无穷小 α\alpha 的主要部分，简称 α\alpha 的主部。

其它

1.

证明

lim⁡n→∞∑i=1nxin=lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}=\lim\limits_{n \to \infty}x_n

∀ε>0, ∃N∈N, ∀n>N, ∣xn−lim⁡n→∞xn∣<ε2\forall_{\varepsilon>0},\, \exist_{N \in \N},\, \forall_{n>N},\, \left\lvert x_n - \lim\limits_{n \to \infty}x_n\right\rvert<\dfrac{\varepsilon}{2}。

而

∣∑i=1nxin−lim⁡n→∞xn∣⩽∣∑i=1Nxin∣+∣∑i=N+1nxin−lim⁡n→∞xn∣<∣∑i=1Nxin∣+ε2\begin{aligned} \left\lvert \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n} - \lim\limits_{n\to \infty}x_n \right\rvert &\le \left\lvert \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}x_i}{n} \right\rvert + \left\lvert \dfrac{\sum\limits_{i=N+1}^{n}x_i}{n} - \lim\limits_{n\to \infty}x_n \right\rvert \\ &< \left\lvert \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}x_i}{n} \right\rvert + \dfrac{\varepsilon}{2} \\ \end{aligned}

而 ∑i=1Nxi\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{N}x_i 为常数，有 ∃N′>N, ∀n>N′, ∣∑i=1Nxin∣<ε2\exist_{N'>N},\, \forall_{n>N'},\, \left\lvert \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}x_i}{n} \right\rvert < \dfrac{\varepsilon}{2}。

综上即有

∣∑i=1nxin−lim⁡n→∞xn∣<ε\left\lvert \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n} - \lim\limits_{n\to \infty}x_n \right\rvert < \varepsilon

即 lim⁡n→∞∑i=1nxin=lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}=\lim\limits_{n \to \infty}x_n。

2.

证明

lim⁡n→∞∏i=1nxin=lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}= \lim\limits_{n \to \infty}x_n

若 lim⁡n→∞xn=0\lim\limits_{n \to \infty}x_n=0，则 0<lim⁡n→∞∏i=1nxin⩽∑i=1nxin0<\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}\le \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}，夹逼准则知 lim⁡n→∞∏i=1nxin=0=lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=0=\lim\limits_{n \to \infty}x_n。

若 lim⁡n→∞xn≠0\lim\limits_{n \to \infty}x_n\ne 0，则 lim⁡n→∞∑i=1n1xin=1lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i}}{n}=\dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty}x_n}。

又 n∑i=1n1xi⩽lim⁡n→∞∏i=1nxin<∑i=1nxin\dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i}} \le \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}<\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}，夹逼准则知 lim⁡n→∞∏i=1nxin=lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=\lim\limits_{n \to \infty}x_n。

3.

ai>0  ̸ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣  ⟹  lim⁡n→∞an>0a_i>0 \;\not\nobreak\!\!\!\!\implies \lim\limits_{n \to \infty}a_n>0

可能为 lim⁡n→∞an\lim\limits_{n \to \infty}a_n 不存在，或 lim⁡n→∞an=0\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0（如 an=1na_n=\dfrac{1}{n}）。