向量代数与空间解析几何

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向量代数

概念

卦限 xx yy zz
I\mathrm{I} ++ ++ ++
II\mathrm{I\kern{-0.1em}I} −- ++ ++
III\mathrm{I\kern{-0.1em}I\kern{-0.1em}I} −- −- ++
IV\mathrm{I\kern{-0.1em}V} ++ −- ++
V\mathrm{V} ++ ++ −-
VI\mathrm{V\kern{-0.1em}I} −- ++ −-
VII\mathrm{V\kern{-0.1em}I\kern{-0.1em}I} −- −- −-
VIII\mathrm{V\kern{-0.1em}I\kern{-0.1em}I\kern{-0.1em}I} ++ −- −-

看了图才知道为啥第八卦限不是全为 -

空间向量 a⃗\vec{a} 与三个坐标轴 x, y, zx,\, y,\, z 正方向的夹角分别记作 α, β, γ\alpha,\, \beta,\, \gamma，称为向量 a⃗\vec{a} 的方向角，方向角的余弦分别称为向量 a⃗\vec{a} 的方向余弦，记作 cos⁡α, cos⁡β, cos⁡γ\cos\alpha,\, \cos\beta,\, \cos\gamma。

与非零向量 a⃗\vec{a} 同方向的单位向量记作 a⃗∘\vec{a}^{\circ}，从而

a⃗∘=a⃗∣a⃗∣=(a1∣a⃗∣, a2∣a⃗∣, a3∣a⃗∣)=(cos⁡α, cos⁡β, cos⁡γ)\vec{a}^{\circ}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\left( \dfrac{a_1}{|\vec{a}|},\, \dfrac{a_2}{|\vec{a}|},\, \dfrac{a_3}{|\vec{a}|} \right) = \left( \cos\alpha,\, \cos\beta,\, \cos\gamma \right)

向量 a⃗, b⃗\vec{a},\, \vec{b} 夹角记作 ⟨a⃗,b⃗⟩\langle\vec{a},\vec{b}\rangle，即 cos⁡⟨a⃗,b⃗⟩=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\dfrac{\vec{a}\boldsymbol{\cdot}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}。

向量 b⃗\vec{b} 在向量 a⃗\vec{a} 上的投影（Projection），记作 Prj⁡a⃗b⃗\operatorname{Prj}_{\vec{a}}\vec{b}。投影是个数值，带有正负，其值 Prj⁡a⃗b⃗=∣b⃗∣cos⁡⟨a⃗,b⃗⟩\operatorname{Prj}_{\vec{a}}\vec{b}=|\vec{b}|\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle。

  1. Prj⁡u⃗(λa⃗)=λPrj⁡u⃗a⃗\operatorname{Prj}_{\vec{u}}(\lambda \vec{a}) = \lambda \operatorname{Prj}_{\vec{u}}\vec{a}
  2. Prj⁡u⃗(a⃗+b⃗)=Prj⁡u⃗a⃗+Prj⁡u⃗b⃗\operatorname{Prj}_{\vec{u}}(\vec{a}+\vec{b}) = \operatorname{Prj}_{\vec{u}}\vec{a}+\operatorname{Prj}_{\vec{u}}\vec{b}

对空间中一点 MM，OM→\overrightarrow{OM} 称为向径（矢径）。

向量 c⃗\vec{c} 若满足

  1. ∣c⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅sin⁡⟨a⃗,b⃗⟩|\vec{c}| = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot \sin\langle\vec{a},\vec{b}\rangle
  2. c⃗⊥a⃗, c⃗⊥b⃗\vec{c} \perp \vec{a},\, \vec{c} \perp \vec{b}
  3. a⃗, b⃗, c⃗\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c} 构成右手系[1]

则称 c⃗\vec{c} 为向量 a⃗, b⃗\vec{a},\, \vec{b} 的向量积（叉积、叉乘、外积），记作 c⃗=a⃗×b⃗\vec{c} = \vec{a}\boldsymbol{\times}\vec{b}，若记 a⃗=a1ı⃗+a2ȷ⃗+a3k⃗\vec{a} = a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}，b⃗=b1ı⃗+b2ȷ⃗+b3k⃗\vec{b} = b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}，则

a⃗×b⃗=(∣a2a3b2b3∣ı⃗, −∣a1a3b1b3∣ȷ⃗, ∣a1a2b1b2∣k⃗)=∣ı⃗ȷ⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣\begin{aligned} \vec{a} \boldsymbol{\times} \vec{b} &= \left( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \vec{\imath},\, - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \vec{\jmath},\, \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{k} \right) \\ &= \begin{vmatrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \end{aligned}

a⃗×b⃗⋅c⃗\vec{a} \boldsymbol{\times} \vec{b} \boldsymbol{\cdot} \vec{c} 称为混合积（标量三重积），记作 (a⃗,b⃗,c⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c})，其值为 a⃗, b⃗, c⃗\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c} 构成的平行六面体的有向体积，若记 a⃗=a1ı⃗+a2ȷ⃗+a3k⃗\vec{a} = a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}，b⃗=b1ı⃗+b2ȷ⃗+b3k⃗\vec{b} = b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}，c⃗=c1ı⃗+c2ȷ⃗+c3k⃗\vec{c} = c_1\vec{\imath}+c_2\vec{\jmath}+c_3\vec{k}，则

(a⃗,b⃗,c⃗)=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

  1. (a⃗,b⃗,c⃗)=(b⃗,c⃗,a⃗)=(c⃗,a⃗,b⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{b},\vec{c},\vec{a}) = (\vec{c},\vec{a},\vec{b})
  2. (a⃗,b⃗,c⃗)=−(b⃗,a⃗,c⃗)=−(c⃗,b⃗,a⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = -(\vec{b},\vec{a},\vec{c}) = -(\vec{c},\vec{b},\vec{a})
  3. (a⃗,b⃗,λc⃗1+μc⃗2)=λ(a⃗,b⃗,c⃗1)+μ(a⃗,b⃗,c⃗2)(\vec{a},\vec{b}, \lambda \vec{c}_1 + \mu \vec{c}_2) = \lambda (\vec{a},\vec{b},\vec{c}_1) + \mu (\vec{a},\vec{b},\vec{c}_2)
  4. (a⃗,b⃗,c⃗)=0  ⟺  a⃗, b⃗, c⃗(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = 0 \iff \vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c} 共面

(1) (2) 可以看作三个乱序向量的混合积等于其以某种顺序为基序的标识序数（我瞎扯的名字）乘以基序的混合积。标识序数可以借用线性代数里逆序数的定义，标识序数则是 −1-1 的以基序为基的逆序数次幂。

然而混合积是个三元运算符，扯这么复杂的含义没有必要，其实就是可以平移向量顺序与基序重合的序混合积不变，否则取反。这里的平移是「环形的」「整体的」。基序可以向左平移意味着 a⃗\vec{a} 平移到 b⃗, c⃗\vec{b},\, \vec{c} 右侧（因为是环形的），同时 b⃗, c⃗\vec{b},\, \vec{c} 依次向左平移，变成 b⃗, c⃗, a⃗\vec{b},\, \vec{c},\, \vec{a}；同理向右平移意味着 c⃗\vec{c} 平移到 a⃗, b⃗\vec{a},\, \vec{b} 左侧，同时 a⃗, b⃗\vec{a},\, \vec{b} 依次向右平移，变成 c⃗, a⃗, b⃗\vec{c},\, \vec{a},\, \vec{b}。

平面与直线

平面

平面的点法式方程

设平面 Π\Pi 过点 M0(x0, y0, z0)M_0(x_0,\, y_0,\, z_0)，且法向量为 n⃗=(A, B, C)\vec{n}=(A,\, B,\, C)，则平面 Π\Pi 上任意一点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 满足

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

即

n⃗⋅M0M→=0\vec{n} \boldsymbol{\cdot} \overrightarrow{M_0M} = 0

称为平面 Π\Pi 的点法式方程。

平面的一般方程

令 D=−Ax0−By0−Cz0D = -Ax_0-By_0-Cz_0，则平面 Π\Pi 上任意一点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 满足

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

称为平面 Π\Pi 的一般方程。

平面的三点式方程

设平面 Π\Pi 过三点 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3)M_1(x_1,\, y_1,\, z_1),\, M_2(x_2,\, y_2,\, z_2),\, M_3(x_3,\, y_3,\, z_3)，则平面 Π\Pi 上任意一点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 满足

∣x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1∣=0\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0

即 MM→1, MM→2, MM→3\overrightarrow{MM}_1,\, \overrightarrow{MM}_2,\, \overrightarrow{MM}_3 共面，混合积为 00。

称为平面 Π\Pi 的三点式方程。

平面的截距式方程

设平面 Π\Pi 与三个坐标轴的交点分别为 A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)A(a,\, 0,\, 0),\, B(0,\, b,\, 0),\, C(0,\, 0,\, c)，且 a, b, c≠0a,\, b,\, c \neq 0，则平面 Π\Pi 上任意一点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 满足

xa+yb+zc=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1

称为平面 Π\Pi 的截距式方程。

特殊平面方程

过原点的平面

Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz=0

平行于某坐标轴的平面

不妨设为 xx 轴，则平面方程为

By+Cz+D=0By+Cz+D=0

因其法向量垂直于 xx 轴基向量 ı⃗\vec{\imath}。

过某坐标轴

不妨设为 xx 轴，则平面方程为

By+Cz=0By+Cz=0

因其过原点，故 D=0D=0。

平行于坐标平面的平面

不妨设为 xOyxOy 平面，则平面方程为

Cz+D=0(C≠0)Cz+D=0\quad(C\ne 0)

因其法向量平行于 zz 轴基向量 k⃗\vec{k}。

平面关系

点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 到平面 Π ⁣:Ax+By+Cz+D=0\Pi\colon Ax+By+Cz+D=0 的距离为

∣Ax+By+Cz+D∣A2+B2+C2\dfrac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

平面 Π1 ⁣:A1x+B1y+C1z+D1=0\Pi_1\colon A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 与平面 Π2 ⁣:A2x+B2y+C2z+D2=0\Pi_2\colon A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 的夹角满足

cos⁡⟨n⃗1,n⃗2⟩=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣⋅∣n⃗2∣=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12A22+B22+C22\begin{aligned} \cos\langle\vec{n}_1,\vec{n}_2\rangle &= \dfrac{\left\lvert \vec{n}_1 \boldsymbol{\cdot} \vec{n}_2 \right\rvert}{\lvert\vec{n}_1\rvert \cdot \lvert\vec{n}_2\rvert} \\ &=\dfrac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \end{aligned}

直线

与直线 ℓ\ell 平行的向量称为直线 ℓ\ell 的方向向量，记为 s⃗\vec{s}。若 s⃗=(l,m,n)\vec{s} = \left( l, m, n \right) ，则称 l, m, nl,\, m,\, n 为直线 ℓ\ell 的方向数。

直线的点向式方程

设直线 ℓ\ell 过点 M0(x0, y0, z0)M_0(x_0,\, y_0,\, z_0)，且方向向量为 s⃗=(l, m, n)\vec{s}=(l,\, m,\, n)，则直线 ℓ\ell 上任意一点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 满足

x−x0l=y−y0m=z−z0n\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}

称为直线 ℓ\ell 的点向式方程（标准式方程、对称式方程）。

直线的参数式方程

令 t=x−x0l=y−y0m=z−z0nt = \dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}，则直线 ℓ\ell 上任意一点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 满足

{x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt\begin{cases} x \kern{-0.8em} &= x_0 + lt \\ y \kern{-0.8em} &= y_0 + mt \\ z \kern{-0.8em} &= z_0 + nt \end{cases}

称为直线 ℓ\ell 的参数式方程。

直线的两点式方程

特别地，若直线 ℓ\ell 通过点 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)M_1(x_1,\, y_1,\, z_1),\, M_2(x_2,\, y_2,\, z_2)，则直线 ℓ\ell 上任意一点 M(x, y, z)M(x,\, y,\, z) 满足

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}

称为直线 ℓ\ell 的两点式方程。

直线的一般式方程

空间直线可以看作是两个平面的交线，因此直线 ℓ\ell 的一般式方程为

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}

其中 n⃗1, n⃗2\vec{n}_1,\, \vec{n}_2 不共线。

称为直线 ℓ\ell 的一般式方程。

直线外一点到直线的距离

设点 M1(x1,y1,z1)M_1 (x_1, y_1, z_1) 不在直线 ℓ ⁣:x−x0l=y−y0m=z−z0n\ell \colon \dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m} = \dfrac{z - z_0}{n} 上，则点 M1M_1 到直线 ℓ\ell 的距离

d=∣M0M→1×s⃗∣∣s⃗∣d = \dfrac{\left\lvert \overrightarrow{M_0M}_1 \boldsymbol{\times} \vec{s} \right\rvert}{\left\lvert \vec{s} \right\rvert}

其中 s⃗=(l,m,n)\vec{s} = (l, m, n) 为直线 ℓ\ell 方向向量，M0M_0 为直线 ℓ\ell 上一点。

两条直线的关系

给定两条直线

ℓ1 ⁣:x−x1l1=y−y1m1=z−z1n1ℓ2 ⁣:x−x2l2=y−y2m2=z−z2n2\begin{aligned} \ell_1 &\colon \dfrac{x - x_1}{l_1} = \dfrac{y - y_1}{m_1} = \dfrac{z - z_1}{n_1} \\ \ell_2 &\colon \dfrac{x - x_2}{l_2} = \dfrac{y - y_2}{m_2} = \dfrac{z - z_2}{n_2} \end{aligned}

其方向向量分别为 s⃗1=(l1,m1,n1)\vec{s}_1 = (l_1, m_1, n_1) 和 s⃗2=(l2,m2,n2)\vec{s}_2 = (l_2, m_2, n_2)，则两直线的夹角定义为

φ={θ,0⩽θ⩽π2π−θ,π2<θ⩽π\varphi = \begin{cases} \theta, & 0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2} \\ \pi - \theta, & \dfrac{\pi}{2} < \theta \le \pi \end{cases}

其中 θ=⟨s⃗1,s⃗2⟩\theta = \langle \vec{s}_1, \vec{s}_2\rangle。

两异面直线公垂线的线段长度称为两直线的距离，公垂线方向向量 s⃗=s⃗1×s⃗2\vec{s} = \vec{s}_1 \boldsymbol{\times} \vec{s}_2，则两直线的距离

d=∣Prj⁡s⃗M1M→2∣=∣M1M→2⋅s⃗∣∣s⃗∣=∣M1M→2⋅(s⃗1×s⃗2)∣∣s⃗1×s⃗2∣\begin{aligned} d &= \left\lvert \operatorname{Prj}_{\vec{s}} \overrightarrow{M_1M}_2 \right\rvert\\ &= \dfrac{\left\lvert \overrightarrow{M_1M}_2 \boldsymbol{\cdot} \vec{s} \right\rvert}{\left\lvert \vec{s} \right\rvert}\\ &= \dfrac{\left\lvert \overrightarrow{M_1M}_2 \boldsymbol{\cdot} \left(\vec{s}_1 \boldsymbol{\times} \vec{s}_2\right) \right\rvert}{\left\lvert \vec{s}_1 \boldsymbol{\times} \vec{s}_2 \right\rvert}\\ \end{aligned}

其中 M1M_1 和 M2M_2 分别为直线 ℓ1\ell_1 和 ℓ2\ell_2 上的一点。

直线与平面的关系

给定直线 ℓ ⁣:x−x0l=y−y0m=z−z0n\ell \colon \dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m} = \dfrac{z - z_0}{n} 和平面 Π ⁣:Ax+By+Cz+D=0\Pi \colon Ax + By + Cz + D = 0，则直线 ℓ\ell 与平面 Π\Pi 的夹角定义为

φ={π2−θ,0⩽θ⩽π2θ−π2,π2<θ⩽π\varphi = \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} - \theta, & 0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2} \\ \theta - \dfrac{\pi}{2}, & \dfrac{\pi}{2} < \theta \le \pi \end{cases}

其中 θ=⟨s⃗,n⃗⟩\theta = \langle \vec{s}, \vec{n} \rangle，s⃗=(l,m,n)\vec{s} = (l, m, n) 为直线 ℓ\ell 方向向量，n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C) 为平面 Π\Pi 法向量。

ℓ/ ⁣/Π  ⟺  s⃗⊥n⃗  ⟺  lA+mB+nC=0\begin{aligned} \ell \par \Pi &\iff \vec{s} \perp \vec{n} \\ &\iff lA + mB + nC = 0 \end{aligned}

ℓ⊂Π  ⟺  lA+mB+nC=0, Ax0+By0+Cz0+D=0\begin{aligned} \ell \subset \Pi \iff &lA + mB + nC = 0,\, \\ &Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0 \end{aligned}

平面束

通过一条定直线 ℓ\ell 的所有平面的集合称为平面束，记为 P\mathscr{P}。

设直线方程

ℓ ⁣:{Π1 ⁣:A1x+B1y+C1z+D1=0Π2 ⁣:A2x+B2y+C2z+D2=0\ell \colon \begin{cases} \Pi_1\colon A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ \Pi_2\colon A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}

则 P\mathscr{P} 的方程为

Pλ ⁣:A1x+B1y+C1z+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\mathscr{P}_{\lambda} \colon A_1x + B_1y + C_1z + \lambda\left(A_2x + B_2y + C_2z + D_2\right) = 0

则 P0\mathscr{P}_0 为平面 Π1\Pi_1。

同时，规定 P∞ ⁣:A2x+B2y+C2z+D2=0\mathscr{P}_{\infty }\colon A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0，即 P∞\mathscr{P}_{\infty } 为平面 Π2\Pi_2。

空间曲面与空间直线

空间直角坐标系中，如果曲面 Σ\Sigma 与三元方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 有关系

  1. 曲面 SS 上任一点都满足方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0
  2. 不在曲面 SS 上的点都不满足方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0

则称 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 为曲面 Σ\Sigma 的方程，曲面 Σ\Sigma 称为方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 的图像。

空间曲线可以看作是两个空间曲面的交线，从而有空间曲线的一般方程

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}

柱面

一条动直线 ℓ\ell 保持与一条定直线 ll 平行，沿给定的一条空间曲线 CC 平行移动所得的曲面称为柱面，其中 ℓ\ell 称为母线，CC 称为准线。

空间解析几何等到那部分时候再写吧。

若从空间曲线方程式 C ⁣:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0C\colon\begin{cases} F(x, y, z) = 0\\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} 可消去 zz 得到方程 h(x,y)=0h(x, y) = 0，则 CC 上的点都在柱面 S ⁣:h(x,y)=0S\colon h(x, y) = 0 上。称这个柱面为曲线 CC 到 xOyxOy 平面的投影柱面，投影柱面与 xOyxOy 平面的交线 {h(x,y)=0z=0\begin{cases} h(x, y) = 0\\ z = 0 \end{cases} 称为曲线 CC 在 xOyxOy 平面上的投影曲线（投影）。

类似可定义曲线 CC 在 xOzxOz 平面上的投影曲线、曲线 CC 在 yOzyOz 平面上的投影曲线，不再赘述。

以曲线

C ⁣:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0C\colon \begin{cases} F(x, y, z) = 0\\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}

为准线，母线方向向量为 ℓ⃗=(l,m,n)\vec{\ell} = (l, m, n) 的柱面方程为

{F(x−lt,y−mt,z−nt)=0G(x−lt,y−mt,z−nt)=0\begin{cases} F(x - lt, y - mt, z - nt) = 0\\ G(x - lt, y - mt, z - nt) = 0 \end{cases}

其中 tt 为参数。此式为柱面方程的参数方程。

证明：

在所求柱面上任取一点 M(x,y,z)M(x, y, z)，过该点以 ℓ⃗\vec{\ell} 为方向向量的直线方程为

x−x0=lt,y−y0=mt,z−z0=ntx - x_0 = lt,\quad y - y_0 = mt,\quad z - z_0 = nt

交准线 CC 于点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)，则

{F(x0,y0,z0)=0G(x0,y0,z0)=0\begin{cases} F(x_0, y_0, z_0) = 0\\ G(x_0, y_0, z_0) = 0 \end{cases}

代入直线方程得

{F(x−lt,y−mt,z−nt)=0G(x−lt,y−mt,z−nt)=0\begin{cases} F(x - lt, y - mt, z - nt) = 0\\ G(x - lt, y - mt, z - nt) = 0 \end{cases}

特别地，以 xOyxOy 平面上的曲线 C ⁣:{f(x,y)=0z=0C\colon \begin{cases} f(x, y) = 0\\ z = 0 \end{cases} 为准线，母线方向向量为 ℓ⃗=(l,m,n), (n≠0)\vec{\ell} = (l, m, n),\, (n \ne 0) 的柱面方程为

f(x−lnz,y−mnz)=0\boxed{ f\left(x - \dfrac{l}{n}z, y - \dfrac{m}{n}z\right) = 0 }

旋转曲面

以一条定直线 ℓ\ell 为轴，将平面上一条连续曲线 CC 绕其旋转一周所得的曲面称为旋转曲面，其中 ℓ\ell 称为旋转轴，CC 称为旋转曲面的生成曲线。

xOyxOy 平面上的曲线 C ⁣:{f(x,y)=0z=0C\colon \begin{cases} f(x, y) = 0\\ z = 0 \end{cases} 绕 xx 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为

f(x,±y2+z2)=0\boxed{ f(x, \pm \sqrt{y^2 + z^2}) = 0 }

证明：

如图所示

旋转曲面上任取一点 M(x,y,z)M(x, y, z)，过该点作一个平面垂直于 xx 轴，与 xx 轴交于 P(x,0,0)P(x, 0, 0)，与曲线 CC 交于 Q(x,y0,0)Q(x, y_0, 0) ，则有 ∣PM∣=∣PQ∣\left\lvert PM \right\rvert = \left\lvert PQ \right\rvert，即 ∣y0∣=y2+z2\left\lvert y_0 \right\rvert = \sqrt{y^2 + z^2}，将 QQ 代入 CC 的方程得

f(x,±y2+z2)=0f(x, \pm \sqrt{y^2 + z^2}) = 0

将 xOyxOy 平面上抛物线 C ⁣:{y2=2pxz=0C\colon \begin{cases} y^2 = 2px\\ z = 0 \end{cases} 绕 xx 轴旋转一周得旋转抛物面，方程为

y2+z2=2pxy^2 + z^2 = 2px

将 xOyxOy 平面上椭圆 C ⁣:{x2a2+y2b2=1z=0C\colon \begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\\ z = 0 \end{cases} 绕 yy 轴旋转一周得旋转椭球面，方程为

x2+z2a2+y2b2=1\dfrac{x^2 + z^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

将 xOyxOy 平面上双曲线 C ⁣:{x2a2−y2b2=1z=0C\colon \begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\\ z = 0 \end{cases} 绕 yy 轴旋转一周得旋转单叶双曲面，方程为

x2+z2a2−y2b2=1\dfrac{x^2 + z^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

将 xOyxOy 平面上双曲线 C ⁣:{x2a2−y2b2=1z=0C\colon \begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\\ z = 0 \end{cases} 绕 xx 轴旋转一周得旋转双叶双曲面，方程为

x2a2−y2+z2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2 + z^2}{b^2} = 1

书上

原书上用的方程是：yOzyOz 平面上双曲线 C ⁣:{y2b2−z2c2=1x=0C\colon \begin{cases} \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1\\ x = 0 \end{cases} 分别绕 z, yz,\, y 轴旋转一周得双叶双曲面和单叶双曲面，方程为

x2+y2b2−z2c2=1\dfrac{x^2 + y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1

和

y2b2−x2+z2c2=1\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2 + z^2}{c^2} = 1

但由于

  1. 用的是 b, cb,\, c，跟我的习惯不一致
  2. 前面用的是 xOyxOy 平面上的曲线，这里用的是 yOzyOz 平面上的曲线

因此我自己改动了一下。

锥面

由定点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) 和一条与其不共面的空间曲线 CC 上所有点连线 ℓ\ell 生成的曲面称为锥面，其中 M0M_0 称为顶点，CC 称为准线，ℓ\ell 称为母线。

锥面参数方程为

{F(x0+t(x−x0),y0+t(y−y0),z0+t(z−z0))=0G(x0+t(x−x0),y0+t(y−y0),z0+t(z−z0))=0\begin{cases} F\left(x_0 + t(x - x_0), y_0 + t(y - y_0), z_0 + t(z - z_0)\right) = 0\\ G\left(x_0 + t(x - x_0), y_0 + t(y - y_0), z_0 + t(z - z_0)\right) = 0 \end{cases}

其中 tt 为参数。

证明：

设 M(x,y,z)M(x, y, z) 为锥面上任意一点，则 M0MM_0M 与 CC 交于一点 Q(x1,y1,z1)Q(x_1, y_1, z_1)，从而 M0Q→/ ⁣/M0M→\overrightarrow{M_0Q} \par \overrightarrow{M_0M}，因此有

x1−x0x−x0=y1−y0y−y0=z1−z0z−z0=t\dfrac{x_1 - x_0}{x - x_0} = \dfrac{y_1 - y_0}{y - y_0} = \dfrac{z_1 - z_0}{z - z_0} = t

将 QQ 代入 CC 的方程得

{F(x0+t(x−x0),y0+t(y−y0),z0+t(z−z0))=0G(x0+t(x−x0),y0+t(y−y0),z0+t(z−z0))=0\begin{cases} F\left(x_0 + t(x - x_0), y_0 + t(y - y_0), z_0 + t(z - z_0)\right) = 0\\ G\left(x_0 + t(x - x_0), y_0 + t(y - y_0), z_0 + t(z - z_0)\right) = 0 \end{cases}

特别地，当 M0M_0 为坐标原点时，锥面方程为

{F(tx,ty,tz)=0G(tx,ty,tz)=0\begin{cases} F(tx, ty, tz) = 0\\ G(tx, ty, tz) = 0 \end{cases}

空间曲线

类似平面曲线的参数方程，可定义空间曲线的参数式方程。

{x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t)(t∈[a,b])\begin{cases} x = \varphi(t)\\ y = \psi(t)\\ z = \omega(t) \end{cases}\qquad \left(t \in [a, b]\right)

其中 φ(t), ψ(t), ω(t)\varphi(t),\, \psi(t),\, \omega(t) 在 [a,b][a, b] 上连续，tt 为参数。

参数方程

{x=acos⁡ty=bsin⁡tz=ct\begin{cases} x = a \cos t\\ y = b \sin t\\ z = ct \end{cases}

表示一条螺旋线。

空间曲面

如果曲面 SS 上点的坐标表示为两个参数 u, vu,\, v 的函数，即

{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)((u,v)∈D)\begin{cases} x = x(u, v)\\ y = y(u, v)\\ z = z(u, v) \end{cases}\qquad \left((u, v) \in D\right)

其中 DD 表示 uvuv 平面上的区域，则上面的方程组称为曲面 SS 的参数方程。

参数方程

{x=asin⁡φcos⁡θy=bsin⁡φsin⁡θz=ccos⁡φ(φ∈[0,π], θ∈[0,2π])\begin{cases} x = a \sin \varphi \cos \theta\\ y = b \sin \varphi \sin \theta\\ z = c \cos \varphi \end{cases}\qquad \left(\varphi \in \left[0, \pi\right],\, \theta \in \left[0, 2\pi\right]\right)

表示一个椭球面。

二次曲面

空间变换

将三元二次方程

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0\begin{aligned} &a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + \\ &2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + \\ &2b_1 x + 2b_2 y + 2b_3 z + c = 0 \end{aligned}

表示的曲面称为二次曲面。其中 a11, a22, a33, a12, a13, a23, b1, b2, b3, c∈Ra_{11},\, a_{22},\, a_{33},\, a_{12},\, a_{13},\, a_{23},\, b_1,\, b_2,\, b_3,\, c \in \R。

学了线代的二次型（当然这个不是二次型），把这个方程化为矩阵形式就是

[xyz1][a11a12a13b1a12a22a23b2a13a23a33b3b1b2b3c][xyz1]\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & b_3\\ b_1 & b_2 & b_3 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}

平移变换

将空间直角坐标系 OO-xyzxyz 坐标原点 OO 平移到 O′O'，若 O′O' 的坐标为 (a,b,c)(a, b, c)，设空间中任意一点 M(x,y,z)M(x, y, z)，其在 O′O'-x′y′z′x'y'z' 坐标系坐标为 (x′,y′,z′)(x', y', z')，则有平移变换公式

{x=x′+ay=y′+bz=z′+c\begin{cases} x = x' + a\\ y = y' + b\\ z = z' + c \end{cases}

旋转变换

保持坐标原点 OO 不动，将空间直角坐标系 OO-xyzxyz 转动到新空间直角坐标系 OO-x′y′z′x'y'z'，若新旧坐标轴夹角有

OxOx OyOy OzOz
Ox′Ox' α1\alpha_1 β1\beta_1 γ1\gamma_1
Oy′Oy' α2\alpha_2 β2\beta_2 γ2\gamma_2
Oz′Oz' α3\alpha_3 β3\beta_3 γ3\gamma_3

设 OO-xyzxyz 基向量为 ı⃗, ȷ⃗, k⃗\vec{\imath},\, \vec{\jmath},\, \vec{k}，OO-x′y′z′x'y'z' 基向量为 ı⃗′, ȷ⃗′, k⃗′\vec{\imath}',\, \vec{\jmath}',\, \vec{k}'，则有

{ı⃗′=cos⁡α1ı⃗+cos⁡β1ȷ⃗+cos⁡γ1k⃗ȷ⃗′=cos⁡α2ı⃗+cos⁡β2ȷ⃗+cos⁡γ2k⃗k⃗′=cos⁡α3ı⃗+cos⁡β3ȷ⃗+cos⁡γ3k⃗\begin{cases} \vec{\imath}' = \cos \alpha_1 \vec{\imath} + \cos \beta_1 \vec{\jmath} + \cos \gamma_1 \vec{k}\\ \vec{\jmath}' = \cos \alpha_2 \vec{\imath} + \cos \beta_2 \vec{\jmath} + \cos \gamma_2 \vec{k}\\ \vec{k}' = \cos \alpha_3 \vec{\imath} + \cos \beta_3 \vec{\jmath} + \cos \gamma_3 \vec{k} \end{cases}

由此可得坐标旋转变换公式

[xyz]=[cos⁡α1cos⁡α2cos⁡α3cos⁡β1cos⁡β2cos⁡β3cos⁡γ1cos⁡γ2cos⁡γ3][x′y′z′]\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos \alpha_1 & \cos \alpha_2 & \cos \alpha_3\\ \cos \beta_1 & \cos \beta_2 & \cos \beta_3\\ \cos \gamma_1 & \cos \gamma_2 & \cos \gamma_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}

或

[x′y′z′]=[cos⁡α1cos⁡β1cos⁡γ1cos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2cos⁡α3cos⁡β3cos⁡γ3][xyz]\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos \alpha_1 & \cos \beta_1 & \cos \gamma_1\\ \cos \alpha_2 & \cos \beta_2 & \cos \gamma_2\\ \cos \alpha_3 & \cos \beta_3 & \cos \gamma_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

最简单的旋转变换即是绕某一坐标轴（如 zz 轴）旋转（θ\theta 为旋转角度），此时有

[xyz]=[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001][x′y′z′]\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}

实二次曲面

经过合适的旋转变换将一般二次曲面方程变化为

a11x2+a22y2+a33z2+2b1x+2b2y+2b3z+c=0a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2 b_1 x + 2 b_2 y + 2 b_3 z + c = 0

或

[xyz1][a1100b10a220b200a33b3b1b2b3c][xyz1]\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_{22} & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}

其中 a11, a22, a33, b1, b2, b3, c∈Ra_{11},\, a_{22},\, a_{33},\, b_1,\, b_2,\, b_3,\, c \in \R。

a11, a22, a33a_{11},\, a_{22},\, a_{33} 均不为零。可通过平移变换变为

Ax2+By2+Cz2=D(1)A x^2 + B y^2 + C z^2 = D\tag{1}

其中 A, B, C, D∈RA,\, B,\, C,\, D \in \R。

二次锥面

当 D=0D = 0 且 A, B, CA,\, B,\, C 不同号，方程 (1)(1) 是一个二次齐次方程，曲面为二次锥面，标准方程为

x2a2+y2b2−z2c2=0\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0

其中 a, b, c∈Ra,\, b,\, c \in \R。

形状如图所示

椭球面

当 D≠0D \neq 0 且 A, B, CA,\, B,\, C 同号，曲面为椭球面，标准方程为

x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1

其中 a, b, c∈Ra,\, b,\, c \in \R。当 a=b=ca = b = c 时，曲面变为半径为 aa 的球面。

形状如图所示

单叶双曲面

当 D≠0D \neq 0，A, B, CA,\, B,\, C 符号有一个与 DD 不同，两个与 DD 相同，曲面为单叶双曲面，标准方程为

x2a2+y2b2−z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1

其中 a, b, c∈Ra,\, b,\, c \in \R。

形状如图所示

双叶双曲面

当 D≠0D \neq 0，A, B, CA,\, B,\, C 符号有两个与 DD 不同，一个与 DD 相同，曲面为双叶双曲面，标准方程为

x2a2+y2b2−z2c2=−1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = -1

其中 a, b, c∈Ra,\, b,\, c \in \R。

形状如图所示

若 a11, a22, a33a_{11},\, a_{22},\, a_{33} 中两个不为零，一个为零。不妨设 a33=0a_{33} = 0，平移变换有

Ax2+By2=2pz+q(2)A x^2 + B y^2 = 2 p z + q\tag{2}

其中 A, B, p, q∈RA,\, B,\, p,\, q \in \R。

柱面

当 p=0p = 0，若 q≠0q \ne 0，则曲面是母线平行于 zz 轴的柱面。若 A, BA,\, B 与 qq 同号，为椭圆柱面，若 A, BA,\, B 异号（下面的方程假设了 AA 与 qq 同号），为双曲柱面。方程分别为

x2a2+y2b2=1,x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,\qquad \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

若 q=0q = 0 且 A, BA,\, B 异号，曲面退化为两张平面

x2a2−y2b2=0\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0

即

(xa−yb)(xa+yb)=0\left( \dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b} \right) \left( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} \right) = 0

若 q=0q = 0 且 A, BA,\, B 同号，曲面退化为一条直线，即 zz 轴。

抛物面

当 p≠0p \ne 0 时，曲面 Ax2+By2=2p(z+q2p)A x^2 + B y^2 = 2 p \left( z + \dfrac{q}{2p} \right) 称为抛物面。

若 A, BA,\, B 同号，则称为椭圆抛物面，标准方程为

x2a2+y2b2=2z\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 2z

其中 a, b∈Ra,\, b \in \R。形状如图所示

若 A, BA,\, B 异号，则称为双曲抛物面（马鞍面），标准方程为

y2b2−x2a2=2z\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 2z

其中 a, b∈Ra,\, b \in \R。形状如图所示

a11, a22, a33a_{11},\, a_{22},\, a_{33} 两个等于零，不妨设 a11=a22=0a_{11} = a_{22} = 0，则有

cz2=px+qy+rc z^2 = px + qy + r

其中 c, p, q, r∈Rc,\, p,\, q,\, r \in \R。

曲面是母线平行于 xOyxOy 平面的抛物柱面，或平行于 zz 轴的平面。

任何平面与二次曲面的交线都是该平面上的一条二次曲线。

由于平面上直线与二次曲线至多有两个交点，因此当直线不全落在二次曲面上时，直线与二次曲面至多有两个交点。

  1. 数学物理的右手系经常用的是什么四指旋转什么的。我一般不用那种，我采用的是：大拇指指向 a⃗\vec{a}，食指指向 b⃗\vec{b}，中指自然伸出指向的方向即为 c⃗\vec{c} 的方向。这样有一种每根手指都是向量的感觉。 ↩︎