多元函数几何应用与极值

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几何应用

空间曲线的切线与法平面

类似地，有

设有空间曲线 CC，P0P_{0} 是曲线 CC 上一定点，PP 是曲线上的动点，作割线 P0PP_{0} P，当 PP 沿着曲线 CC 无限地接近 P0P_{0} 时，若割线 P0PP_{0} P 的极限位置存在，对应的直线记为 LL，我们称直线 LL 为曲线 CC 在点 P0P_{0} 的切线。

通过点 P0P_{0} 且与切线 LL 垂直的平面, 称为曲线 CC 在点 P0P_{0} 的法平面。切线 LL 的方向向量称为曲线 CC 在点 P0P_{0} 的切向量。

设空间曲线 CC 的参数方程为

{x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t),t∈[a,b]\left\lbrace\begin{aligned} x &= \varphi(t)\\ y &= \psi(t)\\ z &= \omega(t) \end{aligned}\right.,\quad t \in [a, b]

这里 φ(t),ψ(t),ω(t)\varphi(t), \psi(t), \omega(t) 在 t=t0t = t_0 处皆可导，且 φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)\varphi'(t_0), \psi'(t_0), \omega'(t_0) 不全为 00，则曲线 CC 在点 P0P_0 处的切向量为

(φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0))\Big( \varphi'(t_0), \psi'(t_0), \omega'(t_0) \Big)

曲线 CC 在点 P0P_0 处的法平面为

φ′(t0)(x−φ(t0))+ψ′(t0)(y−ψ(t0))+ω′(t0)(z−ω(t0))=0\varphi'(t_0)\Big(x - \varphi(t_0)\Big) + \psi'(t_0)\Big(y - \psi(t_0)\Big) + \omega'(t_0)\Big(z - \omega(t_0)\Big) = 0

设空间曲线 CC 一般方程为

{F(x,y,z)=0,H(x,y,z)=0\left\lbrace\begin{aligned} F(x, y, z) &= 0,\\ H(x, y, z) &= 0 \end{aligned}\right.

这里 F, HF,\, H 连续可微，且 D(F,H)D(y,z), D(F,H)D(z,x), D(F,H)D(x,y)\dfrac{D(F, H)}{D(y, z)},\, \dfrac{D(F, H)}{D(z, x)},\, \dfrac{D(F, H)}{D(x, y)} 不全为 00，则化为参数方程有

{x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t)\left\lbrace\begin{aligned} x &= \varphi(t)\\ y &= \psi(t)\\ z &= \omega(t) \end{aligned}\right.

有关于 tt 恒等式

{F(φ(t),ψ(t),ω(t))=0,H(φ(t),ψ(t),ω(t))=0\left\lbrace\begin{aligned} F\Big(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)\Big) &= 0,\\ H\Big(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)\Big) &= 0 \end{aligned}\right.

对 tt 求全导数有

{Fx′φ′(t)+Fy′ψ′(t)+Fz′ω′(t)=0,Hx′φ′(t)+Hy′ψ′(t)+Hz′ω′(t)=0\left\lbrace\begin{aligned} F_x'\varphi'(t) + F_y'\psi'(t) + F_z'\omega'(t) &= 0,\\ H_x'\varphi'(t) + H_y'\psi'(t) + H_z'\omega'(t) &= 0 \end{aligned}\right.

记

{n1=(Fx′,Fy′,Fz′),n2=(Hx′,Hy′,Hz′)\left\lbrace\begin{aligned} \bm{n_1} &= (F_x', F_y', F_z'),\\ \bm{n_2} &= (H_x', H_y', H_z') \end{aligned}\right.

则切向量与 n1×n2\bm{n_1} \boldsymbol{\times} \bm{n_2} 平行，其中

n1×n2=(D(F,H)D(y,z),D(F,H)D(z,x),D(F,H)D(x,y))\bm{n_1} \boldsymbol{\times} \bm{n_2} = \left( \dfrac{D(F, H)}{D(y, z)}, \dfrac{D(F, H)}{D(z, x)}, \dfrac{D(F, H)}{D(x, y)} \right)

切向量可取

(D(F,H)D(y,z)∣P0,D(F,H)D(z,x)∣P0,D(F,H)D(x,y)∣P0)\left( \dfrac{D(F, H)}{D(y, z)}\as_{P_0}, \dfrac{D(F, H)}{D(z, x)}\as_{P_0}, \dfrac{D(F, H)}{D(x, y)}\as_{P_0} \right)

曲线 CC 在点 P0P_0 处的法平面为

D(F,H)D(y,z)∣P0(x−x0)+D(F,H)D(z,x)∣P0(y−y0)+D(F,H)D(x,y)∣P0(z−z0)=0\dfrac{D(F, H)}{D(y, z)}\as_{P_0}(x - x_0) + \dfrac{D(F, H)}{D(z, x)}\as_{P_0}(y - y_0) + \dfrac{D(F, H)}{D(x, y)}\as_{P_0}(z - z_0) = 0

或表示为

∣x−x0y−y0z−z0Fx′(P0)Fy′(P0)Fz′(P0)Hx′(P0)Hy′(P0)Hz′(P0)∣=0\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ F_x'(P_0) & F_y'(P_0) & F_z'(P_0) \\ H_x'(P_0) & H_y'(P_0) & H_z'(P_0) \end{vmatrix} = 0

空间曲面的切平面与法线

设有空间曲面 S,P0S, P_{0} 是曲面 SS 上一定点，CC 是曲面 SS 上通过点 P0P_{0} 的任意一条光滑曲线，如果曲线 CC 在点 P0P_{0} 的切线总保持在某一平面 Π\Pi 上，则称平面 Π\Pi 为曲面 SS 在点 P0P_{0} 的切平面。通过点 P0P_{0} 且与切平面 Π\Pi 垂直的直线称为曲面 SS 在点 P0P_{0} 的法线。切平面 Π\Pi 的法向量称为曲面 SS 在点 P0P_{0} 的法向量。

设空间曲面 SS 一般式方程为

F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0

这里 FF 连续可微，且 Fx′, Fy′, Fz′F_x',\, F_y',\, F_z' 不全为 00。

在 SS 上任取通过 P0P_0 的一条光滑曲线 CC，设 CC 的参数方程为

{x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t)\left\lbrace\begin{aligned} x &= \varphi(t)\\ y &= \psi(t)\\ z &= \omega(t) \end{aligned}\right.

则有恒等式

F(φ(t),ψ(t),ω(t))≡0F(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \equiv 0

对 tt 求全导数有

Fx′φ′(t)+Fy′ψ′(t)+Fz′ω′(t)=0F_x'\varphi'(t) + F_y'\psi'(t) + F_z'\omega'(t) = 0

也就是说，切向量 r′=(φ′(t),ψ′(t),ω′(t))⊥n\bm{r}' = \Big(\varphi'(t), \psi'(t), \omega'(t)\Big) \perp \bm{n}，其中

n=(Fx′,Fy′,Fz′)\bm{n} = (F_x', F_y', F_z')

所以 n\bm{n} 是空间曲面 SS 在 P0P_0 的法向量，切平面的方程为

Fx′(P0)(x−x0)+Fy′(P0)(y−y0)+Fz′(P0)(z−z0)=0F_x'(P_0)(x - x_0) + F_y'(P_0)(y - y_0) + F_z'(P_0)(z - z_0) = 0

法线方程为

x−x0Fx′(P0)=y−y0Fy′(P0)=z−z0Fz′(P0)\dfrac{x - x_0}{F_x'(P_0)} = \dfrac{y - y_0}{F_y'(P_0)} = \dfrac{z - z_0}{F_z'(P_0)}

设空间曲面 SS 的参数方程为

{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)\left\lbrace\begin{aligned} x &= x(u, v)\\ y &= y(u, v)\\ z &= z(u, v) \end{aligned}\right.

则有恒等式

F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))≡0F\Big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\Big) \equiv 0

分别对 u,vu, v 求偏导得

{Fx′xu′+Fy′yu′+Fz′zu′=0,Fx′xv′+Fy′yv′+Fz′zv′=0\left\lbrace\begin{aligned} F_x'x_u' + F_y'y_u' + F_z'z_u' &= 0,\\ F_x'x_v' + F_y'y_v' + F_z'z_v' &= 0 \end{aligned}\right.

记

r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\bm{r}(u, v) = \Big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\Big)

则 SS 的法向量 n=(Fx′,Fy′,Fz′)\bm{n} = (F_x', F_y', F_z') 有 n⊥ru′, n⊥rv′\bm{n} \perp \bm{r}_u',\, \bm{n} \perp \bm{r}_v'，从而 n\bm{n} 与 ru′×rv′\bm{r}_u' \boldsymbol{\times} \bm{r}_v' 平行，其中

ru′×rv′=(A,B,C)=(D(y,z)D(u,v),D(z,x)D(u,v),D(x,y)D(u,v))\bm{r}_u' \boldsymbol{\times} \bm{r}_v' = (A, B, C) = \left( \dfrac{D(y, z)}{D(u, v)}, \dfrac{D(z, x)}{D(u, v)}, \dfrac{D(x, y)}{D(u, v)} \right)

法向量可取

(A(u0,v0),B(u0,v0),C(u0,v0))\Big(A(u_0, v_0), B(u_0, v_0), C(u_0, v_0)\Big)

切平面方程为

A(u0,v0)(x−x0)+B(u0,v0)(y−y0)+C(u0,v0)(z−z0)=0A(u_0, v_0)(x - x_0) + B(u_0, v_0)(y - y_0) + C(u_0, v_0)(z - z_0) = 0

或

∣x−x0y−y0z−z0xu′(u0,v0)yu′(u0,v0)zu′(u0,v0)xv′(u0,v0)yv′(u0,v0)zv′(u0,v0)∣=0\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0\\ x_u'(u_0, v_0) & y_u'(u_0, v_0) & z_u'(u_0, v_0)\\ x_v'(u_0, v_0) & y_v'(u_0, v_0) & z_v'(u_0, v_0) \end{vmatrix} = 0

法线方程为

x−x0A(u0,v0)=y−y0B(u0,v0)=z−z0C(u0,v0)\dfrac{x - x_0}{A(u_0, v_0)} = \dfrac{y - y_0}{B(u_0, v_0)} = \dfrac{z - z_0}{C(u_0, v_0)}

极值

极值定义与一元函数类似，懒得写了。

极值的必要条件

设函数 f(x,y)f(x, y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 可偏导，且 f(x0,y0)f(x_0, y_0) 是 ff 的极值，则

fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0f_x'(x_0, y_0) = f_y'(x_0, y_0) = 0

同样也可以定义驻点，即使

fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0f_x'(x_0, y_0) = f_y'(x_0, y_0) = 0

的点 (x0,y0)(x_0, y_0)。

对于 nn 元函数

f(x1,⋯ ,xn)f(x_1, \cdots, x_n)

黑塞矩阵 Hij(f)=[ ⁣∂2f ⁣∂xixj]\bm{H}_{ij} (f) = \left[ \dfrac{\pd^2 f}{\pd x_i x_j} \right]，即

H(f)=[ ⁣∂2f ⁣∂x12⋯ ⁣∂2f ⁣∂x1xn⋮⋱⋮ ⁣∂2f ⁣∂xnx1⋯ ⁣∂2f ⁣∂xn2]\bm{H} (f) = \begin{bmatrix} \dfrac{\pd^2 f}{\pd x_1^2} & \cdots & \dfrac{\pd^2 f}{\pd x_1 x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\pd^2 f}{\pd x_n x_1} & \cdots & \dfrac{\pd^2 f}{\pd x_n^2} \end{bmatrix}

显然 H(f)\bm{H} (f) 是一个 n×nn \times n 的对称矩阵（当 ff 有 nn 个偏导连续性时）。

而且有

H(f)=J(∇f)⊺\bm{H}(f) = \bm{J}(\grad f)^\intercal

即函数的黑塞矩阵是其梯度的雅可比矩阵的转置。

极值判别法

设 a=(a1,⋯ ,an)∈Rn\bm{a} = (a_1, \cdots, a_n) \in \R^n，函数 f(x)=f(x1,⋯ ,xn)f(\bm{x}) = f(x_1, \cdots, x_n) 在 a\bm{a} 的某邻域二阶连续可微，且 ∇f(a)=0\grad f(\bm{a}) = \bm{0}（即 fxi′(a)=0 (1⩽i⩽n)f'_{x_i}(\bm{a}) = 0\:(1 \le i \le n)），设函数 ff 的黑塞矩阵为 H(f(x))\bm{H} (f(\bm{x}))，则

  1. 若 H(f(a))\bm{H} (f(\bm{a})) 是正定矩阵，则 ff 在 a\bm{a} 处取得严格极小值；
  2. 若 H(f(a))\bm{H} (f(\bm{a})) 是负定矩阵，则 ff 在 a\bm{a} 处取得严格极大值；
  3. 若 H(f(a))\bm{H} (f(\bm{a})) 是不定矩阵，则 ff 在 a\bm{a} 处不取极值。

设 P0(x0,y0)∈R2, G=Nδ(P0)P_0(x_0, y_0) \in \R^2,\, G = N_{\delta}(P_0)，函数 ff 在 GG 内二阶连续可微，且 fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0f_x'(x_0, y_0) = f_y'(x_0, y_0) = 0，则黑塞矩阵

[ABBC]=[fxx′′(x0,y0)fxy′′(x0,y0)fyx′′(x0,y0)fyy′′(x0,y0)]\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{x x}''(x_0, y_0) & f_{x y}''(x_0, y_0) \\ f_{y x}''(x_0, y_0) & f_{y y}''(x_0, y_0) \end{bmatrix}

  1. 若 B2−AC<0, A>0B^2 - AC < 0,\, A > 0，则 ff 在 P0P_0 处取得严格极小值；
  2. 若 B2−AC<0, A<0B^2 - AC < 0,\, A < 0，则 ff 在 P0P_0 处取得严格极大值；
  3. 若 B2−AC>0B^2 - AC > 0，则 ff 在 P0P_0 处不取极值；
  4. 若 B2−AC=0B^2 - AC = 0，则 ff 不一定在 P0P_0 处取得极值。

设 nn 元函数 f(x)=f(x1,⋯ ,xn)f(\bm{x}) = f(x_1, \cdots, x_n)，其 a\bm{a} 处泰勒公式为

f(x)=f(a)+∇f(a)⋅h+12h⊺H(f(a+θh))h,h=x−a, θ∈(0,1)f(\bm{x}) = f(\bm{a}) + \grad f(\bm{a}) \boldsymbol{\cdot} \bm{h} + \dfrac{1}{2} \bm{h}^\intercal \bm{H} (f(\bm{a} + \theta \bm{h})) \bm{h},\quad \bm{h} = \bm{x} - \bm{a},\, \theta \in (0, 1)

若在 a\bm{a} 处 ∇f(a)=0\grad f(\bm{a}) = 0，且 H(f(a))\bm{H} (f(\bm{a})) 是正定矩阵，则 f(x)f(\bm{x}) 在 a\bm{a} 处取得严格极小值。

由于线代已经忘光了，上面的就懒得写推导过程了。

条件极值

拉格朗日乘子法

函数 f(x1,⋯ ,xn)f(x_1, \cdots, x_n) 在满足约束条件 φi(x1,⋯ ,xn)=0(i=1,⋯m;  m<n)\varphi_i(x_1, \cdots, x_n) = 0\quad (i = 1, \cdots m;\; m < n) 下的极值问题，可归结为对拉格朗日函数

L(x1,⋯ ,xn,λ1,⋯ ,λm)=f(x1,⋯ ,xn)+∑i=1mλiφi(x1,⋯ ,xn)\mathcal{L}(x_1, \cdots, x_n, \lambda_1, \cdots, \lambda_m) = f(x_1, \cdots, x_n) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x_1, \cdots, x_n)

求普通（无约束）函数极值的问题。其中 λi\lambda_i 为拉格朗日乘子。

通过一个简单的情形，理解一下内涵。令 n=3,m=1n = 3, m = 1，则为函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 在约束条件 φ(x,y,z)=0\varphi(x, y, z) = 0 下的极值问题。

f(x,y,z)f(x, y, z) 相当于空间中无数个（f(x,y,z)=kf(x, y, z) = k 才确定了是哪一个）曲面 Σ\Sigma，对任意极值点 P∈ΣP \in \Sigma，有经过 PP 的 Σ\Sigma 的切向量 v⃗∈R3\vec{v} \in \R^3，则有 ∇f(P)⋅v⃗=0\grad f(P) \boldsymbol{\cdot} \vec{v} = 0（否则沿 v⃗\vec{v} 方向的方向导数不为 00，PP 邻域沿 v⃗\vec{v} 方向上 ff 会增大或减小，不再是极值）。同理 ∇φ(P)⋅v⃗=0\grad \varphi(P) \boldsymbol{\cdot} \vec{v} = 0，也就是说 ∇f(P)/ ⁣/∇φ(P)\grad f(P) \par \grad \varphi(P)，即存在 λ\lambda 使得 ∇f(P)+λ∇φ(P)=∇(f+λφ)(P)=0⃗\grad f(P) + \lambda \grad \varphi(P) = \grad (f + \lambda \varphi)(P) = \vec{0}。

此时构造拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda \varphi(x, y, z)，则 ∇L(P)=0⃗\grad \mathcal{L}(P) = \vec{0}，即 PP 是 L\mathcal{L} 的驻点。

然后是课本上的这种情形的严格证明。

设函数 f(x,y,z), φ(x,y,z)f(x, y, z),\, \varphi(x, y, z) 连续可微，且 φz′≠0\varphi_z' \ne 0，设函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 在满足约束方程 φ(x,y,z)=0\varphi(x, y, z) = 0 的条件极值在点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0) 处取得，令

L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda \varphi(x, y, z)

则 P0P_0 满足方程组

{Lx′(P0)=fx′(P0)+λφx′(P0)=0Ly′(P0)=fy′(P0)+λφy′(P0)=0Lz′(P0)=fz′(P0)+λφz′(P0)=0Lλ′(P0)=φ(P0)=0\left\lbrace\begin{aligned} \mathcal{L}_x'(P_0) &= f_x'(P_0) + \lambda \varphi_x'(P_0) &= 0 \\ \mathcal{L}_y'(P_0) &= f_y'(P_0) + \lambda \varphi_y'(P_0) &= 0 \\ \mathcal{L}_z'(P_0) &= f_z'(P_0) + \lambda \varphi_z'(P_0) &= 0 \\ \mathcal{L}_{\lambda}'(P_0) &= \varphi(P_0) &= 0 \end{aligned}\right.

证明：

既然 ff 在 P0P_0 取得条件极值，首先有

φ(P0)=0\varphi(P_0) = 0

因为 φz′(P0)≠0\varphi_z'(P_0) \ne 0，隐函数存在定理知存在 (x0,y0)(x_0, y_0) 的邻域 UU 使得 φ(x,y,z)=0\varphi(x, y, z) = 0 有唯一解 z=z(x,y)z = z(x, y)，同时

z0=z(x0,y0),φ(x,y,z(x,y))=0,∀(x,y)∈Uzx′(x0,y0)=−φx′(P0)φz′(P0),zy′(x0,y0)=−φy′(P0)φz′(P0)(1)z_0 = z(x_0, y_0),\quad \varphi(x, y, z(x, y)) = 0,\quad \forall (x, y) \in U\\ z_x'(x_0, y_0) = -\frac{\varphi_x'(P_0)}{\varphi_z'(P_0)},\quad z_y'(x_0, y_0) = -\frac{\varphi_y'(P_0)}{\varphi_z'(P_0)} \tag{1}

由于 f(x,y,z(x,y))f(x, y, z(x, y)) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 取得极值，所以

{fx′(P0)+fz′(P0)zx′(x0,y0)=0fy′(P0)+fz′(P0)zy′(x0,y0)=0\left\lbrace\begin{aligned} f_x'(P_0) + f_z'(P_0)z_x'(x_0, y_0) &= 0 \\ f_y'(P_0) + f_z'(P_0)z_y'(x_0, y_0) &= 0 \end{aligned}\right.

代入 (1)(1) 式，得

{fx′(P0)−1φz′(P0)fz′(P0)φx′(P0)=0fy′(P0)−1φz′(P0)fz′(P0)φy′(P0)=0\left\lbrace\begin{aligned} f_x'(P_0) - \dfrac{1}{\varphi_z'(P_0)} f_z'(P_0) \varphi_x'(P_0) &= 0 \\ f_y'(P_0) - \dfrac{1}{\varphi_z'(P_0)} f_z'(P_0) \varphi_y'(P_0) &= 0 \end{aligned}\right.

记 λ=−fz′(P0)φz′(P0)\lambda = -\dfrac{f_z'(P_0)}{\varphi_z'(P_0)}，则有

{fx′(P0)+λφx′(P0)=0fy′(P0)+λφy′(P0)=0fz′(P0)+λφz′(P0)=0φ(P0)=0\left\lbrace\begin{aligned} f_x'(P_0) + \lambda \varphi_x'(P_0) &= 0 \\ f_y'(P_0) + \lambda \varphi_y'(P_0) &= 0 \\ f_z'(P_0) + \lambda \varphi_z'(P_0) &= 0\\ \varphi(P_0) &= 0 \end{aligned}\right.