曲线积分

第一类曲线积分

定义

在光滑平面曲线 $C$ 上有定义的函数 $f(x, y)$ 沿 $C$ 的第一类曲线积分（对弧长的积分）为

$$\int_C f(x, y) \d s = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i$$

其中 $\Delta s_i$ 是曲线 $C$ 上第 $i$ 段的长度，$(\xi_i, \eta_i)$ 是该段上任意一点，$\lambda$ 是曲线 $C$ 上取点的最大间距。

其中 $f(x, y)$ 称为被积函数，$C$ 称为积分曲线，$\d s$ 称为弧微分（$\d s > 0$）。

类似的有空间曲线上的第一类曲线积分：

$$\int_C f(x, y, z) \d s = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i$$

积分性质与定积分类似。特别地，有

$$\begin{aligned} \int_{\widehat{AB}} f(x, y) \d s &= \int_{\widehat{BA}} f(x, y) \d s\\ \int_C f(x, y) \d s &= \int_{-C} f(x, y) \d s \end{aligned}$$

其中 $-C$ 表示 $C$ 的反向曲线。

理解成线质量即可。

计算

设 $f(x, y)$ 为定义在曲线段 $C$ 的连续函数，设 $C$ 可参数化为 $\bm{r}(t) = \bigl(\varphi(t), \psi(t)\bigr)$，即

$$\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \\ \end{cases} \quad (a \le t \le b)$$

其中 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，且 $[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2 \neq 0$，则第一类曲线积分 $\displaystyle\int_C f(x, y) \d s$ 存在，且

$$\begin{aligned} \int_C f(x, y) \d s &= \int_a^b f\bigl(\varphi(t), \psi(t)\bigr) | \bm{r}'(t) | \d t \\ &= \boxed{\int_a^b f\bigl(\varphi(t), \psi(t)\bigr) \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} \d t} \end{aligned}$$

第二类曲线积分

考虑平面光滑曲线 $C$ 上的向量场 $\bm{F}(x, y)$，有

$$\bm{F}(x, y) = P(x, y) \bm{i} + Q(x, y) \bm{j}$$

则向量场 $\bm{F}(x, y)$ 沿有向曲线 $C$ 的第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）为

$$\int_C \bm{F}(x, y) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r} = \int_C P(x, y) \d x + Q(x, y) \d y$$

其中 $\d \bm{r} = \bm{i} \d x + \bm{j} \d y$ 称为位矢微分。曲线 $C$ 称为积分路径。

特别地，

$$\int_C P(x, y) \d x = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i$$

称为函数 $P(x, y)$ 沿有向曲线 $C$ 对坐标 $x$ 的曲线积分。

类似的有空间曲线上的第二类曲线积分：

$$\int_C \bm{F}(x, y, z) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r} = \int_C P(x, y, z) \d x + Q(x, y, z) \d y + R(x, y, z) \d z$$

其中 $\d \bm{r} = \bm{i} \d x + \bm{j} \d y + \bm{k} \d z$。

积分性质与定积分类似。特别地，有

$$\begin{aligned} \int_{\widehat{AB}} \bm{F}(x, y) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r} &= -\int_{\widehat{BA}} \bm{F}(x, y) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r} \\ \int_C \bm{F}(x, y) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r} &= -\int_{-C} \bm{F}(x, y) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r} \end{aligned}$$

其中 $-C$ 表示 $C$ 的反向曲线。

理解成做功即可。

计算

设 $\bm{F}(x, y) = P(x, y) \bm{i} + Q(x, y) \bm{j}$ 为定义在曲线段 $C$ 的连续向量场。

设 $C$ 可参数化为 $\bm{r}(t) = \bigl(\varphi(t), \psi(t)\bigr)$，且当 $t$ 单调由 $a$ 变到 $b$ 时，点 $M(x, y)$ 从 $C$ 的起点 $A$ 沿 $C$ 运动到终点 $B$，$\varphi(t),\, \psi(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，且 $[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2 \neq 0$，则第二类曲线积分 $\displaystyle\int_C P(x, y) \d x + Q(x, y) \d y$ 存在，且

$$\int_C P(x, y) \d x + Q(x, y) \d y = \boxed{\int_a^b \Bigl[P\bigl(\varphi(t), \psi(t)\bigr) \varphi'(t) + Q\bigl(\varphi(t), \psi(t)\bigr) \psi'(t)\Bigr] \d t}$$

两类曲线积分的联系

设有向曲线 $C$ 起点为 $A$，终点为 $B$，曲线 $C$ 可参数化为 $\bm{r}(t) = \bigl(\varphi(t), \psi(t)\bigr)$，$a \le t \le b$，即

$$\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \\ \end{cases} \quad (a \le t \le b)$$

从而有 $\bigl(\varphi'(t), \psi'(t)\bigr)$ 是曲线的切向量，因而

$$\begin{aligned} \d \bm{r} &= (\d x, \d y)\\ &= \bigl(\varphi'(t) \d t, \psi'(t) \d t\bigr)\\ &= \bigl(\varphi'(t), \psi'(t)\bigr) \d t\\ \end{aligned}$$

也是 $C$ 的切向量，且方向与积分路径方向保持一致。又

$$\left\lvert \d \bm{r} \right\rvert = \sqrt{(\d x)^2 + (\d y)^2} = \d s$$

设 $\d \bm{r}$ 方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta$，则有

$$(\cos \alpha, \cos \beta) = \dfrac{\d \bm{r}}{\left\lvert \d \bm{r} \right\rvert} = \left(\dfrac{\d x}{\d s}, \dfrac{\d y}{\d s}\right)$$

则

$$\begin{cases} \d x = \cos \alpha \d s\\ \d y = \cos \beta \d s \end{cases}$$

因此

$$\boxed{ \int_C P \d x + Q \d y = \int_C (P \cos \alpha + Q \cos \beta) \d s }$$

其中 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ 为曲线 $C$ 上点 $(x, y)$ 处的单位切向量，且方向与积分路径方向保持一致。

类似地，空间曲线上的两类曲线积分也有类似的联系：

$$\boxed{ \int_C P \d x + Q \d y + R \d z = \int_C (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \d s }$$

反过来，有

$$\begin{aligned} \int_C f(x, y) \d s &= \int_C f(x, y) \cdot \left\lvert\d \bm{r} \right\rvert \\ &= \int_C f(x, y) \dfrac{\d \bm{r}}{\left\lvert \d \bm{r} \right\rvert} \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r}\\ &= \int_C f(x, y) (\cos \alpha, \cos \beta) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r}\\ &= \int_C f(x, y) \cos \alpha \d x + f(x, y) \cos \beta \d y\\ \end{aligned}$$

对于特殊的第一类曲线积分 $\displaystyle \int_C \dfrac{\partial f}{\partial \bm{n}} \d s$，可以进行如下转换变成第二类曲线积分。

$$\begin{aligned} \int_C \dfrac{\partial f}{\partial \bm{n}} \d s &= \int_C \grad f \boldsymbol{\cdot} \bm{n} \d s\\ &= \int_C \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) \boldsymbol{\cdot} \left( - \cos \beta, \cos \alpha \right) \d s\\ &= \int_C \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \cos \alpha - \dfrac{\partial f}{\partial x} \cos \beta \right) \d s\\ &= \int_C \left( \dfrac{\partial f}{\partial y}, - \dfrac{\partial f}{\partial x} \right) \boldsymbol{\cdot} \d \bm{r} \end{aligned}$$

抄错笔记

上面的公式一开始我写的是下面的内容，但是复习时第二个等号那里我却实在是看不明白，盯了很长时间也搞不懂，也没查到相关资料，有点怀疑是自己抄错了。于是发邮件请教助教、老师，证实了是抄错了，估计是跟上面离得比较近，而我当时神智比较不清晰，当成连起来的就合并到一个 align 环境了，事后也没及时重温笔记。

$(\cos \alpha, \cos \beta)$ 为 $C$ 上一点单位切向量，记 $\bm{n}$ 为法向量，则有

$$\begin{aligned} \int_C f(x, y) \d s &= \int_C f(x, y) \cos \alpha \d x + f(x, y) \cos \beta \d y\\ &= \int_C \dfrac{\partial f}{\partial \bm{n}} \d s\\ &= \int_C \grad f \boldsymbol{\cdot} \bm{n} \d s\\ &= \int_C \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \boldsymbol{\cdot} (- \cos \beta, \cos \alpha) \d s\\ &= \int_C \cos \alpha \dfrac{\partial f}{\partial y} - \cos \beta \dfrac{\partial f}{\partial x} \d s \end{aligned}$$

格林公式

设曲线 $C$ 的参数方程为

$$\begin{cases} x = \varphi(t)\\ y = \psi(t) \end{cases} \quad (a \le t \le b)$$

若 $\varphi, \psi$ 连续，且对不同参数 $t_1, t_2 \in [a, b]$（不妨设 $t_1 < t_2$），有 $\bigl(\varphi(t_1), \psi(t_1)\bigr) = \bigl(\varphi(t_2), \psi(t_2)\bigr)$ 当且仅当 $t_1 = a, t_2 = b$，则称曲线 $C$ 为简单闭曲线。

如下图，$\text{(a)}$ 是简单闭曲线，$\text{(b), (c)}$ 不是简单闭曲线。

设 $D$ 为一平面区域，如果 $D$ 内的任一条简单闭曲线所围的部分都属于 $D$，则称 $D$ 为单连通区域，否则称为多连通区域。

如下图，第一、二个区域是单连通区域，第三个区域是多连通区域。

对于平面区域 $D$ 的边界曲线 $C$，规定 $C$ 的正向：当观察者沿 $C$ 的正向行走时（人头与 $D$ 方向一致），区域 $D$ 总在观察者的左侧。

格林公式（Green Formula）

设有界闭区域 $D$ 由逐段光滑曲线 $\partial D$ 围成，函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\oint_{\partial D} P \d x + Q \d y = \iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \d x \d y$$

其中 $\partial D$ 的方向按 $D$ 的正向边界曲线的方向。

证明

先证 $\displaystyle \oint_{\partial D} P \d x = - \iint_D \dfrac{\partial P}{\partial y}\d x \d y$。

记 $D$ 可写为 $\left\lbrace a \le x \le b, \varphi(x) \le y \le \psi(x) \right\rbrace$，则

$$\begin{aligned} \iint_D \left(- \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\d x \d y &= \int_a^b \d x \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} \left(- \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \d y\\ &= \int_a^b -\left[P\bigl(x, \psi(x)\bigr) - P\bigl(x, \varphi(x)\bigr)\right] \d x\\ &= \int_a^b P(x, \varphi(x)) \d x + \int_b^a P(x, \psi(x)) \d x\\ &= \oint_{\partial D} P \d x \end{aligned}$$

单连通、多连通区域可通过引入辅助线（辅助线上曲线积分方向相反，曲线积分抵消）将其化为上面的情形，可推知对所有情况成立。

同理可证 $\displaystyle \oint_{\partial D} Q \d y = \iint_D \dfrac{\partial Q}{\partial x}\d x \d y$（下面推导方向与上面相反）：

记 $D$ 可写为 $\left\lbrace c \le y \le d, \alpha(y) \le x \le \beta(y) \right\rbrace$，则

$$\begin{aligned} \oint_{\partial D} Q \d y &= \int_c^d Q\bigl(\beta(y), y\bigr) \d y + \int_d^c Q\bigl(\alpha(y), y\bigr) \d y\\ &= \int_c^d \Bigl(Q\bigl(\beta(y), y\bigr) - Q(\alpha(y), y)\Bigr) \d y\\ &= \int_c^d \d y \int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} \dfrac{\partial Q}{\partial x} \d x\\ &= \iint_D \dfrac{\partial Q}{\partial x}\d x \d y \end{aligned}$$

记忆（也可以当成是不太严谨的证明）：

$$\begin{aligned} \d \left( P \d x + Q \d y \right) &= \left( \dfrac{\partial P}{\partial x}\d x + \dfrac{\partial P}{\partial y}\d y \right) \d x + P \dfrac{\d }{\d x}\d x + \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x}\d x + \dfrac{\partial Q}{\partial y}\d y \right) \d y + Q \dfrac{\d }{\d y}\d y\\ &= \dfrac{\partial P}{\partial x}\d x^2 + \dfrac{\partial P}{\partial y}\d y \d x + \dfrac{\partial Q}{\partial x}\d x \d y + \dfrac{\partial Q}{\partial y}\d y^2\\ &= - \dfrac{\partial P}{\partial y}\d x \d y + \dfrac{\partial Q}{\partial x}\d x \d y\\ &= \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \d x \d y \end{aligned}$$

$\d x$ 与 $x$ 无关，故 $\dfrac{\d }{\d x}\d x = 0$。

$\d x^2 = \d x \boldsymbol{\times} \d x = 0,\, \d y \d x = \d y \boldsymbol{\times} \d x = - \d x \boldsymbol{\times} \d y = - \d x \d y$（即其实是当成了叉乘）。

特别地，取 $P = -y, Q = x$，则有格林公式的一个特例

$$\oint_{\partial D} x \d y - y \d x = 2\iint_D \d x \d y$$

即（后面两个，例如第一个是取 $Q = x$，并令 $\dfrac{\partial P}{\partial y} = 0$ 如 $P = c$ 得到的）

$$\begin{aligned} \sigma(D) &= \dfrac{1}{2} \oint_{\partial D} x \d y - y \d x\\ &= \oint_{\partial D} x \d y\\ &= \oint_{\partial D} -y \d x \end{aligned}$$

根据上面的「记法」，还可写为

$$\int_{\partial \Omega} \alpha = \int_{\Omega} \d \alpha$$

求曲线积分

$$\oint_C \dfrac{-(x + y)\d x + (x - y)\d y}{x^2 + y^2}$$

其中 $C$ 是不通过坐标原点的简单正向闭曲线。

---

$P = \dfrac{-(x + y)}{x^2 + y^2},\, Q = \dfrac{x - y}{x^2 + y^2}$ 均在坐标原点无定义，$(x, y) \ne (0, 0)$ 时，有

$$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{-x^2 + 2xy + y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$

因此对于 $C$ 围成的区域 $D$ 需要分类讨论：

若 $D$ 不含坐标原点，格林公式有

$$\begin{aligned} \oint_C P \d x + Q \d y &= \iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \d x \d y\\ &= \iint_D 0 \d x \d y\\ &= 0 \end{aligned}$$

若 $D$ 含坐标原点，取 $r > 0$ 充分小使得正向圆周 $l\colon x^2 + y^2 = r^2$ 完全位于区域 $D$ 内，记 $C$ 与 $l$ 围成的区域为 $D_1$（可以判断出 $\partial D_1 = C + l^{-}$），对 $D_1$ 运用格林公式，跟上面一样，有

$$\begin{aligned} \oint_{C + l^{-}} P \d x + Q \d y &= \iint_{D_1} 0 \d x \d y\\ &= 0 \end{aligned}$$

因此

$$\begin{aligned} \oint_C P \d x + Q \d y &= \oint_{C + l^{-}} (P \d x + Q \d y) + \oint_{l} (P \d x + Q \d y)\\ &= 0 + \oint_{l} P \d x + Q \d y\\ &= \int_0^{2 \pi} \dfrac{-(r \cos \theta + r \sin \theta)(-r \sin \theta) + (r \cos \theta - r \sin \theta)(r \cos \theta)}{r^2} \d \theta\\ &= \int_0^{2 \pi} \d \theta\\ &= 2 \pi \end{aligned}$$

这题旨在说明奇点可能会影响格林公式对曲线积分的应用，因此需要分类讨论。

设曲线 $\Gamma$ 为区域 $D\colon \left\lbrace (x, y) \mid 0 \le x \le \pi, 0 \le y \le \sin x\right\rbrace$ 的正向边界，$\bm{n}$ 为 $\Gamma$ 的外法向量，求

$$\int_{\Gamma} \dfrac{\partial f}{\partial \bm{n}}\d s$$

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设切向量 $\bm{t} = \left(\cos \alpha, \cos \beta\right)$，则 $\bm{n} = \left(\cos \beta, -\cos \alpha\right)$（顺时针旋转 $\dfrac{\pi}{2}$），则

$$\begin{aligned} \int_{\Gamma}\dfrac{\partial f}{\partial \bm{n}}\d s &= \int_{\Gamma} \grad f \boldsymbol{\cdot} \bm{n} \d s\\ &= \int_{\Gamma} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\cos \beta - \dfrac{\partial f}{\partial y} \cos \alpha \right) \d s\\ &= \int_{\Gamma} -\dfrac{\partial f}{\partial y}\d x + \dfrac{\partial f}{\partial x} \d y\\ &= \iint_D \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right) \d x \d y\\ &= \iint \Delta f \d x \d y\\ \end{aligned}$$

其中 $\Delta = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$ 为拉普拉斯算子^[1]。即 $\Delta = \grad^2 = \grad \boldsymbol{\cdot} \grad = \grad^{\mathrm{T}} \grad$。

另外可以注意到，$\grad \grad^{\mathrm{T}} = \bm{H}$ 为黑塞矩阵。

虽然常记 $\grad = \left( \dfrac{\partial }{\partial x}, \dfrac{\partial }{\partial y} \right)$，但其实我的意思是 $\grad = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} \\ \dfrac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix}$。即其实是 $2 \times 1$ 的列向量而非 $1 \times 2$ 的行向量。

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1. 没发现专门表示 Laplace 算子的符号，因此用 \Delta 表示。 ↩︎

平面上第二类曲线积分与路径无关的条件

设 $G$ 为平面上的一个区域，$P(x, y), Q(x, y)$ 在区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数，如果对于 $G$ 内的任意指定的两点 $A, B$，以及 $G$ 内从 $A$ 点到 $B$ 点的任意两条曲线 $L_{1}, L_{2}$ 恒有

$$\int_{L_{1}} P \d x + Q \d y = \int_{L_{2}} P \d x + Q \d y$$

则称曲线积分 $\displaystyle \int_{L} P \d x + Q \d y$ 在 $G$ 内与路径无关。否则就称与路径有关。

其等价于 $G$ 内任何简单闭曲线 $L$ 有

$$\oint_{L} P \d x + Q \d y = 0$$

因为有^[1]

$$\oint_{L_1 - L_2} P \d x + Q \d y = 0$$

则由格林公式有

设 $D$ 是一单连通区域，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 内有一阶连续偏导数，则曲线积分 $\displaystyle \int_{C} P \d x+Q \d y$ 在 $D$ 内与路径无关的充分必要条件是

$$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$$

在 $D$ 内恒成立。

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充分性由格林公式显然证得。

必要性采用反证法，不妨设 $\exists (x_0, y_0)$ 使得 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \as_{(x_0, y_0)} = \eta > 0$。

由连续性知，存在 $\delta > 0$ 使得 $(x_0, y_0)$ 的 $\delta$ 邻域内有 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \ge \dfrac{1}{2} \eta > 0$ 成立。

设 $\gamma$ 为以 $(x_0, y_0)$ 为圆心，$\delta$ 为半径的圆闭区域，格林公式有

$$\begin{aligned} \oint_{\partial \gamma} P \d x + Q \d y &= \iint_{\gamma} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \d x \d y\\ &\ge \iint_{\gamma} \dfrac{1}{2} \eta \d x \d y\\ &= \dfrac{1}{2} \eta \pi \delta^2 > 0 \end{aligned}$$

与沿 $D$ 内任意闭曲线的曲线积分为零的假设相矛盾。

需要强调的是，「单连通区域」与「一阶连续偏导数」是必要的条件，否则上面的定理不可用。

假如非单连通区域，例如上面的 $P = \dfrac{-(x + y)}{x^2 + y^2},\, Q = \dfrac{x - y}{x^2 + y^2}$ 在闭圆环 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \le x^{2}+y^{2} \le 2\right\}$ 上有一阶连续的偏导数，且 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 内恒成立，但对于绕坐标原点的简单闭曲线 $C$ 有曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} P \d x + Q \d y = 2 \pi \ne 0$，因此不满足「与路径无关」。

曲线积分与路径无关时，常将从起点 $A$ 到终点 $B$ 的曲线积分记为

$$\int_{A}^{B} P \d x + Q \d y$$

设 $D$ 是一单连通区域，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则 $P(x, y) \d x+Q(x, y) \d y$ 在 $D$ 内恰是某一函数 $u(x, y)$ 的全微分的充分必要条件是

$$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$$

在 $D$ 内恒成立。

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必要性。设 $P \d x + Q \d y$ 是某一函数 $u$ 的全微分，即

$$P \d x + Q \d y = \d u$$

从而

$$\begin{cases} P = \dfrac{\partial u}{\partial x}\\ Q = \dfrac{\partial u}{\partial y} \end{cases}$$

则

$$\begin{cases} \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \end{cases}$$

因为 $P, Q$ 一阶连续可偏导，则 $u$ 二阶连续可偏导，即 $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$，从而

$$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$$

充分性。由上面的定理知曲线积分

$$\int_{A}^{B} P \d x + Q \d y$$

与路径无关，固定起点 $A(x_0, y_0)$，终点 $B(x, y)$ 在 $D$ 内移动时，上述曲线积分就是关于终点 $(x, y)$ 的函数，记为 $u(x, y)$，即

$$u(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P \d x + Q \d y$$

下证 $P \d x + Q \d y$ 是 $u(x, y)$ 的全微分。

只需证

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = P\\ \dfrac{\partial u}{\partial y} = Q \end{cases}$$

对于任意的定点 $B(x, y)$，取 $|\Delta x|$ 充分小使得点 $B^{\prime}(x+\Delta x, y)$ 及线段 $B B^{\prime}$ 都完全位于 $D$ 内

有

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial x} &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{u(x + \Delta x, y) - u(x, y)}{\Delta x}\\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \int_{(x_0, y_0)}^{(x + \Delta x, y)} P \d x + Q \d y - \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P \d x + Q \d y}{\Delta x}\\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \int_{(x, y)}^{(x + \Delta x, y)} P \d x + Q \d y}{\Delta x}\\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \int_{(x, y)}^{(x + \Delta x, y)} P \d x}{\Delta x}\\ &= P \end{aligned}$$

同理可证 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = Q$，充分性得证。

设区域 $D$ 是一个单连通区域，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 内具有一阶连续偏导数，对于 $D$ 内的任意两点 $A, B$，曲线积分 $\displaystyle \int_{\widehat{A B}} P\d x+Q\d y$ 与路径无关的充分必要条件是：

$P\d x+Q\d y$ 恰是某个函数 $u(x, y)$ 的全微分，即 $\d u=P\d x+Q\d y$ （这时我们称 $P\d x+Q \d y$为恰当微分）。此时有

$$\int_{\widehat{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{A}^{B} \mathrm{~d} u=u(B)-u(A)$$

其中 $u(A), u(B)$ 分别表示函数 $u(x, y)$ 在 $A, B$ 点的函数值。

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很像啊，很像牛顿-莱布尼茨公式，因此称为曲线积分的基本公式。

对于满足

$$\d u = P \d x + Q \d y$$

的函数 $u$ 称为 $P \d x + Q \d y$ 的原函数。

由于路径无关，为了计算的简便，可以选取一些简单的曲线进行计算，如直线或平行于坐标轴的折线等。

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1. $L_1 - L_2 = L_1 + L_2^{-}$ ↩︎