行列式、线性方程组与矩阵

线代老师不是按课本顺序讲的，因此下面我的笔记可能比较杂乱。

笔记

行列式

行列式的公理化定义

1. 单位矩阵的行列式 $\left\lvert \bm{E} \right\rvert=1$
2. 行列式 $A$ 中任意两行交换，行列式变号
3. 多重线性：行列式 $A$ 对其每一行都线性

余子式

设 $\bm{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$a_{ij}$ 为 $\bm{A}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，则 $M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的余子式，$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式。有

$$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

$$\begin{aligned} A &= \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} \\ &= \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \end{aligned}$$

逆序数

排列 $S$ 中的所有逆序的个数称为这个排列的逆序数。记为 $\tau(S)$。

自然顺序指的是从小到大排列的顺序。

逆序指的是从大到小排列的顺序。

基于逆序数的行列式的定义：

对行列式 $D_n= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$，定义其结果为

$$D_n=\sum_{S} (-1)^{\tau(S)} a_{1 s_1} a_{2 s_2} \cdots a_{n s_n},\,\qquad\left( S=s_1, s_2, \cdots, s_n \right)$$

和

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i 1}+b_{i 1} & \cdots & a_{in} + b_{i n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$$

即一次只能拆一行。

定理 1.2.9

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

证明：只需将原行列式代数余子式对应行（上面说的第二个行）换成另一行（上面说的第一个行）。新行列式出现两行相同，值为零。

箭形行列式

设 $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}c_i\ne 0$，则箭形行列式可定义为

$$\begin{aligned} A_{n+1}&= \begin{vmatrix} c_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_2 & 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & 0 & 0 & \cdots & c_n \\ \end{vmatrix}\\ &= \prod_{i=1}^{n}c_i\left(c_0 - \sum_{i=1}^{n} \dfrac{a_i b_i}{c_i}\right) \end{aligned}$$

证明：

$$\begin{aligned} A_{n+1}&\xlongequal{\displaystyle r_1 - \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{a_i}{c_i}r_{i+1}}\begin{vmatrix} c_0 - \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{a_i b_i}{c_i} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_2 & 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{vmatrix}\\ &= \prod_{i=1}^{n}c_i\left(c_0 - \sum_{i=1}^{n} \dfrac{a_i b_i}{c_i}\right) \end{aligned}$$

$-\bm{A}$

$$-\bm{A}=\begin{bmatrix} -a_{i j} \end{bmatrix}$$

$$\left\lvert -\bm{A}_n \right\rvert = (-1)^n \left\lvert \bm{A}_n \right\rvert$$

奇数阶的反对称行列式等于零。

证明：即 $\bm{A}^{\rm T}=-\bm{A}$。则 $\left\lvert \bm{A}^\intercal \right\rvert=\left\lvert -\bm{A} \right\rvert=-\left\lvert \bm{A} \right\rvert=\left\lvert \bm{A} \right\rvert$。

范德蒙德行列式

$n$ 阶范德蒙德行列式为

$$\begin{aligned} D_n\left( x_1, x_2, \cdots, x_n \right)&=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix}\\ &=\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left( x_j - x_i \right) \end{aligned}$$

证明：我忘记了老师的做法，课本做法太麻烦了。

线性方程组

克莱姆法则

$n$ 元线性方程组

$$\left\lbrace\begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n &= b_2 \\ \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n &= b_n \\ \end{aligned}\right.$$

若其系数行列式

$$D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \ne 0$$

则方程组有唯一解，且解可表示为

$$x_i = \dfrac{D_i}{D},\qquad (i=1,2,\cdots,n)$$

不代表 $D=0$ 时方程组无解！

代数基本定理

$\displaystyle \sum \limits_{i=0}^{n}c_i x^i=0,\,(c_n\ne 0)$ 至多有 $n$ 个互不相等的实根。

证明：反证法，不妨设 $x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}$ 是 $n+1$ 个互不相等的实根，则

$$\begin{bmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n+1} & \cdots & x_{n+1}^n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

而范德蒙德行列式 $\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n+1} & \cdots & x_{n+1}^n \\ \end{vmatrix}=\displaystyle \prod\limits_{1\le i < j \le n+1}^{}(x_j-x_i)\ne 0$，因此 $c_0=c_1=\cdots=c_n=0$，与 $c_n\ne 0$ 矛盾，得证。

矩阵

表示

$\bm{A}_{m \times n}$ 表示 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，可记作

$$\begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix}$$

或

$$\begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{bmatrix}$$

我个人更喜欢第二种，我的文章应该也全都是第二种。但教材、老师都是第一种，而因为第一种比较方便，我手写也可能用第一种。

用 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 表示全体 $m$ 行 $n$ 列的实矩阵。

教材上用的是 $M_{m \times n}(\mathbf{R})$。

零矩阵

所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作 $\bm{O}_{m \times n}$ 或 $\bm{O}$。

对角矩阵

$$\bm{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

则称 $\bm{A}$ 为对角矩阵。也常用 $\def\diag{\operatorname{diag}}\diag(a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn})$ 表示。

数量矩阵

若 $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=k$，则称 $\bm{A}$ 为数量矩阵。

单位矩阵

若 $k=1$，则称 $\bm{A}$ 为单位矩阵，记作 $\bm{E}$ 或 $\bm{I}$。

三角形矩阵

上三角矩阵：

$$\bm{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

下三角矩阵：

$$\bm{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

对称矩阵 & 反对称矩阵

若 $\bm{A}=(a_{ij})_n$ 满足 $a_{ij}=a_{ji}$，则称 $\bm{A}$ 为对称矩阵。

若 $\bm{A}=(a_{ij})_n$ 满足 $a_{ij}=-a_{ji}$，则称 $\bm{A}$ 为反对称矩阵。

转置矩阵

把 $m \times n$ 矩阵 $\bm{A}$ 的行换成同序数的列所得到的 $n \times m$ 矩阵称为 $\bm{A}$ 的转置矩阵，记作 $\bm{A}^\intercal$ 或 $\bm{A}'$。

奇异矩阵 & 非奇异矩阵

若方阵 $\bm{A}$ 的行列式 $\left\lvert \bm{A} \right\rvert=0$，则称 $\bm{A}$ 为奇异矩阵，否则称 $\bm{A}$ 为非奇异矩阵。

奇异矩阵也称为退化矩阵。

非奇异矩阵也称为非异矩阵。

矩阵的运算

数乘

设 $k$ 为数，$\bm{A}=\left[a_{ij}\right]_n$，则 $k \bm{A}=\left[k a_{ij}\right]_n$。

$$\left\lvert k \bm{A}_n \right\rvert = k^n \left\lvert \bm{A}_n \right\rvert$$

乘法

设 $\bm{A}_{m \times l}=\left[a_{ij}\right]$，$\bm{B}_{l \times n}=\left[b_{ij}\right]$，则 $\bm{A}$ 与 $\bm{B}$ 的乘积 $\bm{C}_{m \times n}=\left[c_{ij}\right]_{m \times n}$ 定义为

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^l a_{ik} b_{kj},\qquad (i=1,2,\cdots,m;\;j=1,2,\cdots,n)$$

$c_{ij}$ 等于 $\bm{A}$ 的第 $i$ 行元素与 $\bm{B}$ 的第 $j$ 列元素对应相乘再相加。

从向量角度进行理解，设 $\bm{A}=\begin{bmatrix} \vec{\alpha}_1 \\ \vec{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \vec{\alpha}_m \end{bmatrix},\, \bm{B}=\begin{bmatrix} \vec{\beta}_1 & \vec{\beta}_2 & \cdots & \vec{\beta}_n \end{bmatrix}$（$\vec{\alpha}_i,\, \vec{\beta}_i$ 都是 $l$ 维向量），则

$$\bm{C}=\bm{A}\bm{B}= \begin{bmatrix} \vec{\alpha}_1 \\ \vec{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \vec{\alpha}_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{\beta}_1 & \vec{\beta}_2 & \cdots & \vec{\beta}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{\alpha}_1 \vec{\beta}_1 & \vec{\alpha}_1 \vec{\beta}_2 & \cdots & \vec{\alpha}_1 \vec{\beta}_n \\ \vec{\alpha}_2 \vec{\beta}_1 & \vec{\alpha}_2 \vec{\beta}_2 & \cdots & \vec{\alpha}_2 \vec{\beta}_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vec{\alpha}_m \vec{\beta}_1 & \vec{\alpha}_m \vec{\beta}_2 & \cdots & \vec{\alpha}_m \vec{\beta}_n \end{bmatrix}$$

$$c_{ij}=\vec{\alpha}_i \cdot \vec{\beta}_j$$

由于矩阵乘法不满足交换律，因此一般 $\bm{A}\bm{B} \ne \bm{B}\bm{A}$，$\left( \bm{A}\bm{B} \right)^k \ne \bm{A}^k \bm{B}^k$。

$\left\lvert \bm{A}_1 \bm{A}_2 \cdots \bm{A}_k \right\rvert = \left\lvert \bm{A}_1 \right\rvert \left\lvert \bm{A}_2 \right\rvert \cdots \left\lvert \bm{A}_k \right\rvert$

$\left( \bm{A}\bm{B} \right) ^\intercal=\bm{B}^\intercal\bm{A}^\intercal$

$\left( \bm{A}_1 \bm{A}_2 \cdots \bm{A}_k \right)^\intercal=\bm{A}_k^\intercal\cdots \bm{A}_2^\intercal\bm{A}_1^\intercal$

矩阵的幂

设 $\bm{A}$ 为 $n$ 阶方阵，定义 $\bm{A}^0=\bm{E},\, \bm{A}^k=\bm{A}^{k-1}\bm{A}$。

若 $\bm{A}\bm{B}=\bm{B}\bm{A}$，则 $\left( \bm{A}+\bm{B} \right)^n=\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\combination_n^i \bm{A}^{n-i}\bm{B}^i$。

如计算 $\bm{A}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 的 $n$ 次幂，可令 $\bm{A}=\bm{E}+\bm{B}$。

矩阵多项式

定义

$$f(\bm{A})=\sum_{i=1}^{n} a_i \bm{A}^i$$

为矩阵多项式。