线性空间 | Shrine

数域

设 $\mathbb{K}$ 是由一些复数组成的集合，其中包括 $0,\, 1$ 。若 $\mathbb{K}$ 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 $0$ ）仍在 $\mathbb{K}$ 中，则称 $\mathbb{K}$ 为一个数域。

即 $\mathbb{K} \subseteq \C,\, \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace \subseteq \mathbb{K}$ ，且 $\forall a,\, b \in \mathbb{K}$ ，有 $a \pm b,\, a \times b,\, a/b\; (b \ne 0)\in \mathbb{K}$ （对加减乘除运算封闭），则称 $\mathbb{K}$ 为一个数域。

对数域 $\mathbb{K}$ ，有 $\Q \subseteq \mathbb{K}$ 。

证明：

显然 $\Z \subseteq \mathbb{K}$ ，而所有有理数可表示为两个整数的比值，故 $\Q \subseteq \mathbb{K}$ 。

因此最小的数域是 $\Q$ ，而 $\C$ 是最大的数域。

同时也知道整数 $\Z$ 不是数域，而是数环。

设非空集合 $V$ ，而 $\mathbb{K}$ 是一个数域。在 $V$ 上定义了两种运算（课本上 $\oplus$ 用的是 $+$ ， $\otimes$ 省略，即与普通加法和数乘运算相同。为了更好理解抽象的概念，我换了符号来表示）：

加法：对于任意 $\alpha, \beta \in V$ ，有唯一的 $\alpha \oplus \beta \in V$ 与之对应，记为 $\alpha \oplus \beta$ 。（ $V \times V \to V;\; (\alpha, \beta) \mapsto \alpha \oplus \beta$ ）
数乘：对于任意 $k \in \mathbb{K}$ ， $\alpha \in V$ ，有唯一的 $k \otimes\alpha \in V$ 与之对应，记为 $k\otimes\alpha$ 。（ $\mathbb{K} \times V \to V;\; (k, \alpha) \mapsto k \otimes \alpha$ ）

若 $V$ 上定义了加法和数乘（并且对这两种运算封闭），且满足以下条件，则称 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间：

$\alpha \oplus \beta = \beta \oplus \alpha$
$(\alpha \oplus \beta) \oplus \gamma = \alpha \oplus (\beta \oplus \gamma)$
存在 $\theta \in V$ ，使得 $\alpha \oplus \theta = \alpha$ （ $\theta$ 是零元素，也是一个抽象的概念）
对于任意 $\alpha \in V$ ，存在 $\beta \in V$ ，使得 $\alpha \oplus \beta = \theta$ （ $\beta$ 是 $\alpha$ 的负元素，记为 $\ominus\alpha$ ⟦ $- \alpha$ ⟧）
$1\otimes\alpha = \alpha$ （ $1$ 是 $\mathbb{K}$ 中的单位数）
对任意 $k,\, l \in \mathbb{K}$ ， $\alpha \in V$ ，有 $(k \times l)\otimes\alpha = k\otimes(l\otimes\alpha)$
对任意 $k,\, l \in \mathbb{K}$ ， $\alpha \in V$ ，有 $(k + l)\otimes\alpha = (k\otimes\alpha) \oplus (l\otimes\alpha)$
对任意 $k \in \mathbb{K}$ ， $\alpha,\, \beta \in V$ ，有 $k\otimes(\alpha \oplus \beta) = (k\otimes\alpha) \oplus (k\otimes\beta)$

若 $\mathbb{K} = \R$ ，则称 $V$ 是实线性空间；若 $\mathbb{K} = \C$ ，则称 $V$ 是复线性空间。

一些线性空间的例子

设 $\mathbb{K}$ 是一个数域：

$\mathbb{K}^n$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间（加法和数乘即为向量的加法和数乘）
$M_{m \times n}(\mathbb{K})$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间（加法和数乘即为矩阵的加法和数乘）
$P_n(\mathbb{K})[x]$ （ $\mathbb{K}_n[x]$ ）是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间（ $P_n(\mathbb{K})[x] = \left\lbrace \displaystyle \sum_{i = 0}^n a_i x^i \mathrel{\Biggm|} a_i \in \mathbb{K} \right\rbrace$ ，加法和数乘即为多项式的加法和数乘）
设 $\bm{A} \in M_{m \times n}(\R)$ ，则齐次方程组的解集 $V = \left\lbrace x \in \R^n \mid \bm{A}x = 0 \right\rbrace$ 是实线性空间（加法和数乘即为向量的加法和数乘）
$C([0, 1]) = \left\lbrace f \mid f\colon [0, 1] \to \R \text{ 连续}\right\rbrace$ 是实线性空间（加法和数乘即为函数的加法和数乘）
零空间 $V=\left\lbrace \theta \right\rbrace$

零元素唯一。

证明：

$\begin{rcases} \theta_1 \oplus \theta_2 = \theta_1 \\ \theta_2 \oplus \theta_1 = \theta_2 \end{rcases} \implies \theta_1 = \theta_2$

负元素唯一。

证明：

$\begin{aligned} \begin{rcases} \alpha \oplus \beta_1 = \theta \\ \alpha \oplus \beta_2 = \theta \end{rcases} \implies \beta_1 &= \beta_1 \oplus \theta \\ &= \beta_1 \oplus (\alpha \oplus \beta_2) \\ &= (\beta_1 \oplus \alpha) \oplus \beta_2 \\ &= \theta \oplus \beta_2 \\ &= \beta_2 \end{aligned}$

$0 \otimes \alpha = \theta$ 。

证明：

$\begin{aligned} 0 \otimes \alpha &= (0 + 0) \otimes \alpha \\ &= (0 \otimes \alpha) \oplus (0 \otimes \alpha) \\ (0 \otimes \alpha) \oplus (\ominus (0 \otimes \alpha)) &= (0 \otimes \alpha) \oplus (0 \otimes \alpha) \oplus (\ominus (0 \otimes \alpha)) \\ \theta &= (0 \otimes \alpha) \oplus \theta \\ \implies 0 \otimes \alpha &= \theta \end{aligned}$

$k \otimes \theta = \theta$ 。

证明：

$\begin{aligned} k \otimes \theta &= k \otimes (\theta \oplus \theta) \\ &= (k \otimes \theta) \oplus (k \otimes \theta) \\ \implies k \otimes \theta &= \theta \end{aligned}$

$(-1) \otimes \alpha = \ominus \alpha$ 。

证明：

$\begin{aligned} \alpha \oplus \left(-1 \otimes \alpha\right) &= (1 \otimes \alpha) \oplus \left(-1 \otimes \alpha\right) \\ &= (1 + (-1)) \otimes \alpha \\ &= 0 \otimes \alpha \\ &= \theta \\ \implies (-1) \otimes \alpha &= \ominus \alpha \end{aligned}$

若 $k \otimes \alpha = \theta$ ，则 $k = 0$ 或 $\alpha = \theta$ 。

证明：

不妨设 $k\ne 0$ 且 $\alpha \ne \theta$ ，则

$\begin{aligned} \alpha &= 1 \otimes \alpha \\ &= \left(\dfrac{1}{k}\times k\right) \otimes \alpha \\ &= \dfrac{1}{k} \times \left(k \otimes \alpha\right) \\ &= \dfrac{1}{k} \otimes \theta \\ &= \theta \end{aligned}$

矛盾！故 $k \ne 0$ 与 $\alpha \ne \theta$ 不能同时成立，也即 $k \otimes \alpha = \theta \implies k = 0$ 或 $\alpha = \theta$ 。

对向量组 $\bm{V} = V(\mathbb{K})$ 中的向量 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_n$ ，若存在不全为 $0$ 的数 $k_1, k_2, \cdots, k_n \in \mathbb{K}$ ，使得

$k_1\bm{\alpha}_1 + k_2\bm{\alpha}_2 + \cdots + k_n\bm{\alpha}_n = \bm{\theta}$

则称 $\bm{\alpha}_1, \bm{\alpha}_2, \cdots, \bm{\alpha}_n$ 线性相关，否则称线性无关。

对互不相等的 $k_1,\, k_2,\, \cdots,\, k_n \in \R$ ，有

$\e^{k_1 x},\, \e^{k_2 x},\, \cdots,\, \e^{k_n x}$

线性无关。

证明：

有 $l_1,\, l_2,\, \cdots,\, l_n \in \R$ ，使得

$l_1 \e^{k_1 x} + l_2 \e^{k_2 x} + \cdots + l_n \e^{k_n x} \equiv 0$

求导 $n - 1$ 次，得

$\begin{bmatrix} \e^{k_1 x} & \e^{k_2 x} & \cdots & \e^{k_n x} \\ k_1 \e^{k_1 x} & k_2 \e^{k_2 x} & \cdots & k_n \e^{k_n x} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_1^{n - 1} \e^{k_1 x} & k_2^{n - 1} \e^{k_2 x} & \cdots & k_n^{n - 1} \e^{k_n x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \\ \vdots \\ l_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

范德蒙德行列式知系数行列式不为零，从而 $l_1 = l_2 = \cdots = l_n = 0$ ，故 $\e^{k_1 x},\, \e^{k_2 x},\, \cdots,\, \e^{k_n x}$ 线性无关。

具体而言，系数行列式

$\begin{aligned} D &= \exp\left(\sum\limits_{i=1}^{n}k_i x\right) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_1^{n - 1} & k_2^{n - 1} & \cdots & k_n^{n - 1} \end{vmatrix} \\ &= \exp\left(\sum\limits_{i=1}^{n}k_i x\right)\prod_{1 \le i < j \le n}(k_j - k_i)\\ &\ne 0 \end{aligned}$

若线性空间 $\bm{V}$ 中存在 $n$ 个线性无关的向量

$\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$

使得 $\bm{V}$ 中任意向量 $\alpha$ 都可由其线性表示，则称 $\bm{V}$ 是 $n$ 维线性空间，记作 $\operatorname{dim}(\bm{V}) = n$ ， $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 是 $\bm{V}$ 的一组基。

并记 $\operatorname{dim}(\left\lbrace \bm{\theta} \right\rbrace) = 0$ ，即零空间的维数为 $0$ 。

若 $\bm{V}$ 中有任意多个线性无关的向量，则称 $\bm{V}$ 是无限维线性空间。

设 $\bm{V} = M_{m \times n}(\R),\, \mathbb{K} = \R$ ，则

$\begin{aligned} \bm{A} &= [a_{ij}]_{m \times n}\\ &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \\ &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij} \bm{E}_{ij} \end{aligned}$

其中 $\bm{E}_{ij}$ 是 $m \times n$ 的矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $1$ ，其余元素为 $0$ 。

由此可知 $M_{m \times n}(\R)$ 是 $mn$ 维线性空间，其基为 $\left\lbrace \bm{E}_{ij} \mid i = 1,\, 2,\, \cdots,\, m;\; j = 1,\, 2,\, \cdots,\, n \right\rbrace$ 。

设 $V = P_n(\R)[x]$ ，则

$f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$

设

$h(x) = k_0 \cdot 1 + k_1 x + k_2 x^2 + \cdots + k_n x^n \equiv 0$

从而 $k_0 = 0$ ，求导得 $k_1 = 0$ ，以此类推（ $\dfrac{\d^m }{\d x^m}h(0) = m! \cdot k_m = 0$ ），可知 $k_0 = k_1 = \cdots = k_n = 0$ ，故 $1,\, x,\, x^2,\, \cdots,\, x^n$ 线性无关。

不同的基

由于 $P_n(\R)[x]$ 是 $n + 1$ 维线性空间，故其基不止一组，例如

$1,\, (x - 1),\, (x - 1)^2,\, \cdots,\, (x - 1)^n$

也是一组基。

先证明 $1,\, x,\, x^2,\, \cdots,\, x^n$ 可由 $1,\, (x - 1),\, (x - 1)^2,\, \cdots,\, (x - 1)^n$ 线性表示：

$\begin{aligned} x^i &= (x - 1 + 1)^i \\ &= \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} (x - 1)^j \\ \end{aligned}$

再证明 $1,\, (x - 1),\, (x - 1)^2,\, \cdots,\, (x - 1)^n$ 线性无关：跟上面的证明类似，不再赘述。

设 $V = C([0, 1])$ ，则 $V$ 是无限维线性空间。

证明：

$1,\, x,\, \cdots,\, x^n,\, \cdots$

线性无关，而 $n$ 可以任意大，故 $V$ 是无限维线性空间。

设 $\bm{V} = V(\mathbb{K})$ 是 $n$ 维线性空间， $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 是 $V$ 的一组基，则任意 $\bm{\alpha} \in \bm{V}$ 都可由 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 线性表示，即

$\begin{aligned} \bm{\alpha} &= \sum_{i=1}^{n} x_i \bm{\varepsilon}_i\\ &= x_1 \bm{\varepsilon}_1 + x_2 \bm{\varepsilon}_2 + \cdots + x_n \bm{\varepsilon}_n \end{aligned}$

其中 $x_i \in \mathbb{K}$ ，且表示方式唯一。

称 $x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n$ 是 $\bm{\alpha}$ 在基 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 下的坐标，记作

$\bm{x} = (x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n)$

或

$\bm{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

有

$\bm{\alpha} = \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

基变换

设 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_n$ 与 $\bm{\beta}_1,\, \bm{\beta}_2,\, \cdots,\, \bm{\beta}_n$ 是 $n$ 维向量空间 $\bm{V}$ 的两组基，且

$\left\lbrace\begin{aligned} \bm{\beta}_1 &= a_{11}\bm{\alpha}_1 + a_{21}\bm{\alpha}_2 + \cdots + a_{n1}\bm{\alpha}_n \\ \bm{\beta}_2 &= a_{12}\bm{\alpha}_1 + a_{22}\bm{\alpha}_2 + \cdots + a_{n2}\bm{\alpha}_n \\ \vdots \\ \bm{\beta}_n &= a_{1n}\bm{\alpha}_1 + a_{2n}\bm{\alpha}_2 + \cdots + a_{nn}\bm{\alpha}_n \end{aligned}\right.$

即

$\begin{bmatrix} \bm{\beta}_1 & \bm{\beta}_2 & \cdots & \bm{\beta}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \bm{\alpha}_1 & \bm{\alpha}_2 & \cdots & \bm{\alpha}_n \end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}}_{\bm{P}}\tag{1}$

$\bm{P}$ 称为从基 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_n$ 到基 $\bm{\beta}_1,\, \bm{\beta}_2,\, \cdots,\, \bm{\beta}_n$ 的过渡矩阵， $(1)$ 式称为基变换公式。

设 $\bm{V}$ 中元素 $\bm{\gamma}$ 在基 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_n$ 下的坐标为 $\bm{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^\intercal$ ，在基 $\bm{\beta}_1,\, \bm{\beta}_2,\, \cdots,\, \bm{\beta}_n$ 下的坐标为 $\bm{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_n)^\intercal$ ，则有坐标变换公式

$\bm{x} = \bm{P}\bm{y}$

或

$\bm{y} = \bm{P}^{-1}\bm{x}$

其中 $\bm{P}$ 为从基 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_n$ 到基 $\bm{\beta}_1,\, \bm{\beta}_2,\, \cdots,\, \bm{\beta}_n$ 的过渡矩阵。

由

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} \bm{\alpha}_1 & \bm{\alpha}_2 & \cdots & \bm{\alpha}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} \bm{\beta}_1 & \bm{\beta}_2 & \cdots & \bm{\beta}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \bm{\alpha}_1 & \bm{\alpha}_2 & \cdots & \bm{\alpha}_n \end{bmatrix} \bm{P} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

得

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \bm{P} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$

即

$\bm{x} = \bm{P}\bm{y}$

设 $\bm{W}$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $\bm{V}$ 的一个非空子集，如果 $\bm{W}$ 关于 $\bm{V}$ 上的加法和数乘运算也构成数域 $\mathbb{K}$ 上的一个线性空间，则称 $\bm{W}$ 是 $\bm{V}$ 的一个线性子空间（子空间），记作 $\bm{W} \subseteq \bm{V}$ ，若 $\bm{W} \neq \bm{V}$ ，则记作 $\bm{W} \subset \bm{V}$ 。

子空间

零子空间：仅含零元素，最小的子空间。
平凡子空间： $\bm{V}$ 本身。
非平凡子空间：不是零子空间，也不是 $\bm{V}$ 本身的子空间。（不一定存在）

线性空间 $\bm{V}$ 的一个非空子集 $\bm{W}$ 是 $\bm{V}$ 的子空间的充要条件是： $\bm{W}$ 对于 $\bm{V}$ 上的加法和数乘运算封闭，可表示为对任意的 $\bm{\alpha},\, \bm{\beta} \in \bm{W}$ 和任意的 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{K}$ ，有

$\lambda\bm{\alpha} + \mu\bm{\beta} \in \bm{W}$

给定线性空间 $\bm{V}=V(\mathbb{K})$ 中向量组 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_s$ ，则它们的所有的线性组合构成一个 $\bm{V}$ 的子空间，称为由向量组 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_s$ 生成的子空间，记作

$\span\{\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_s\} \text{ 或 } L\{\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_s\}$

特别地，零子空间是由零向量生成的子空间 $\span\{\bm{\theta}\}$ 。

显然

$\dim(\span\{\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_s\}) = \rank\{\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_s\}$

实系数齐次方程组 $\bm{A} \bm{x} = \bm{\theta}$ 解空间 $\bm{W}$ 是 $\R^n$ 的子空间，则有

$\dim(\bm{W}) = n - \rank(\bm{A})$

设 $\bm{W}_1$ 和 $\bm{W}_2$ 是线性空间 $\bm{V}$ 的两个子空间，定义 $\bm{W}_1$ 和 $\bm{W}_2$ 的交为

$\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2 = \{\bm{\alpha} \mid \bm{\alpha} \in \bm{W}_1 \text{ 且 } \bm{\alpha} \in \bm{W}_2\}$

显然， $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$ 也是 $\bm{V}$ 的子空间。

设 $\bm{W}_1$ 和 $\bm{W}_2$ 是线性空间 $\bm{V}$ 的两个子空间，定义 $\bm{W}_1$ 和 $\bm{W}_2$ 的和为

$\bm{W}_1 + \bm{W}_2 = \{\bm{\alpha} + \bm{\beta} \mid \bm{\alpha} \in \bm{W}_1,\, \bm{\beta} \in \bm{W}_2\}$

显然， $\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 也是 $\bm{V}$ 的子空间，且有 $\bm{W}_1 \cup \bm{W}_2 \subseteq \bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 。

对齐次线性方程组

$\left\lbrace\begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &= 0\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n &= 0\\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n &= 0 \end{aligned}\right.$

令 $\bm{W}_k = \left\lbrace \bm{x} \in \R^n \mid a_{k1} x_1 + a_{k2} x_2 + \cdots + a_{kn} x_n = 0 \right\rbrace$ ，则 $\bm{W}_k$ 是 $\R^n$ 的子空间，且 $\bm{W} = \bm{W}_1 \cap \bm{W}_2 \cap \cdots \cap \bm{W}_m$ 是该方程组的解空间。

设 $\bm{W}_1$ 和 $\bm{W}_2$ 是线性空间 $\bm{V}$ 的两个子空间，则

$\dim(\bm{W}_1) + \dim(\bm{W}_2) = \dim(\bm{W}_1 + \bm{W}_2) + \dim(\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2)$

特别地，若 $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2 = \{\bm{\theta}\}$ ，则

$\dim(\bm{W}_1) + \dim(\bm{W}_2) = \dim(\bm{W}_1 + \bm{W}_2)$

证明：

仅考虑 $\dim(\bm{W}_1),\, \dim(\bm{W}_2)$ 有限的情况。

设 $\dim(\bm{W}_1) = n_1,\, \dim(\bm{W}_2) = n_2$ ，设 $\dim(\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2) = m$ 。

记 $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$ 的一组基为 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m$ 。

则 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m$ 可以扩充为 $\bm{W}_1$ 的一组基 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m,\, \bm{\beta}_1,\, \cdots,\, \bm{\beta}_{n_1 - m}$ ，还可以扩充为 $\bm{W}_2$ 的一组基 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m,\, \bm{\gamma}_1,\, \cdots,\, \bm{\gamma}_{n_2 - m}$ 。

则

$\begin{aligned} \dim(\bm{W}_1 + \bm{W}_2) &= \dim(\span\{\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m,\, \bm{\beta}_1,\, \cdots,\, \bm{\beta}_{n_1 - m},\, \bm{\gamma}_1,\, \cdots,\, \bm{\gamma}_{n_2 - m}\})\\ &\le n_1 + n_2 - m\\ \end{aligned}$

即证 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m,\, \bm{\beta}_1,\, \cdots,\, \bm{\beta}_{n_1 - m},\, \bm{\gamma}_1,\, \cdots,\, \bm{\gamma}_{n_2 - m}$ 线性无关。

设

$\begin{aligned} &\overbrace{(k_1 \bm{\alpha}_1 + \cdots + k_m \bm{\alpha}_m + p_1 \bm{\beta}_1 + \cdots + p_{n_1 - m} \bm{\beta}_{n_1 - m})}^{\bm{\alpha}} + \\ &(q_1 \bm{\gamma}_1 + \cdots + q_{n_2 - m} \bm{\gamma}_{n_2 - m}) = \bm{\theta} \end{aligned}$

则 $\bm{\alpha} \in \bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$ ，即

$\bm{\alpha} = c_1 \bm{\alpha}_1 + \cdots + c_m \bm{\alpha}_m$

又

$\bm{\alpha} = - (q_1 \bm{\gamma}_1 + \cdots + q_{n_2 - m} \bm{\gamma}_{n_2 - m})$

即

$c_1 \bm{\alpha}_1 + \cdots + c_m \bm{\alpha}_m + q_1 \bm{\gamma}_1 + \cdots + q_{n_2 - m} \bm{\gamma}_{n_2 - m} = \bm{\theta}$

而 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m,\, \bm{\gamma}_1,\, \cdots,\, \bm{\gamma}_{n_2 - m}$ 线性无关，故 $c_1 = \cdots = c_m = q_1 = \cdots = q_{n_2 - m} = 0$ ，即 $\bm{\alpha} = \bm{\theta}$ 。

即

$k_1 \bm{\alpha}_1 + \cdots + k_m \bm{\alpha}_m + p_1 \bm{\beta}_1 + \cdots + p_{n_1 - m} \bm{\beta}_{n_1 - m} = \bm{\theta}$

而 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m,\, \bm{\beta}_1,\, \cdots,\, \bm{\beta}_{n_1 - m}$ 线性无关，故 $k_1 = \cdots = k_m = p_1 = \cdots = p_{n_1 - m} = 0$ 。

从而 $\bm{\alpha}_1,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m,\, \bm{\beta}_1,\, \cdots,\, \bm{\beta}_{n_1 - m},\, \bm{\gamma}_1,\, \cdots,\, \bm{\gamma}_{n_2 - m}$ 线性无关，即

$\dim(\bm{W}_1 + \bm{W}_2) = n_1 + n_2 - m$

设 $\bm{W}_1,\, \bm{W}_2$ 是线性空间 $\bm{V}$ 的两个子空间，若 $\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 中每个向量 $\bm{\alpha}$ 都可以唯一地表示为 $\bm{\alpha} = \bm{\alpha}_1 + \bm{\alpha}_2$ ，其中 $\bm{\alpha}_1 \in \bm{W}_1,\, \bm{\alpha}_2 \in \bm{W}_2$ ，则称 $\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 是直和，记作 $\bm{W}_1 \oplus \bm{W}_2$ （或 $\bm{W}_1 \dotplus \bm{W}_2$ ）。

若 $\bm{W} = \bm{W}_1 \oplus \bm{W}_2$ ，则称在 $\bm{W}$ 内 $\bm{W}_1$ 是 $\bm{W}_2$ 的补空间。

$\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 是直和的充要条件是 $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2 = \left\lbrace \bm{\theta} \right\rbrace$ 。

证明：

必要性已经说明了，下证充分性。

设 $\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 不是直和，则存在 $\bm{\gamma} \in \bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 满足

$\begin{aligned} \bm{\gamma} &= \bm{\alpha}_1 + \bm{\beta}_1\\ \bm{\gamma} &= \bm{\alpha}_2 + \bm{\beta}_2 \end{aligned}$

其中 $\bm{\alpha}_1,\, \bm{\alpha}_2 \in \bm{W}_1,\, \bm{\beta}_1,\, \bm{\beta}_2 \in \bm{W}_2$ ，且 $\bm{\alpha}_1 \ne \bm{\alpha}_2,\, \bm{\beta}_1 \ne \bm{\beta}_2$ 。

相减得

$(\bm{\alpha}_1 - \bm{\alpha}_2) + (\bm{\beta}_1 - \bm{\beta}_2) = \bm{\theta}$

从而

$\bm{w} = \bm{\alpha}_1 - \bm{\alpha}_2 = - (\bm{\beta}_1 - \bm{\beta}_2) \ne \bm{\theta}$

即 $\bm{w} \in \bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$ ，故 $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2 \ne \left\lbrace \bm{\theta} \right\rbrace$ ，矛盾！

故 $\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 是直和。

设 $M$ 是有限维线性空间 $V$ 的子空间，则必然存在 $V$ 另一子空间 $N$ 使得

$V = M \oplus N$

即补空间必然存在。

证明：

由于 $M$ 是有限维的，所以可以找到一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ ，将其扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m, \alpha_{m+1}, \cdots, \alpha_n$ 。令 $N$ 为 $V$ 中由 $\alpha_{m+1}, \cdots, \alpha_n$ 张成的子空间，则 $V = M + N$ 。

又因为 $M \cap N = \{\theta\}$ （ $\dim V = \dim M + \dim N$ ），所以 $V = M \oplus N$ 。

同时可知补空间 $N$ 不唯一。

设 $W_1$ 为齐次方程组

$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$

的解空间， $W_2$ 为齐次方程组

$x_1 = x_2 = \cdots = x_n$

的解空间，证明

$\R^n = W_1 \oplus W_2$

证明：

任意 $\alpha = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \in \R^n$ ，令

$\bar{\alpha} = \dfrac{1}{n}(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$

令

$\beta = \begin{bmatrix} a_1 - \bar{\alpha} \\ a_2 - \bar{\alpha} \\ \vdots \\ a_n - \bar{\alpha} \end{bmatrix},\quad \gamma = \begin{bmatrix} \bar{\alpha} \\ \bar{\alpha} \\ \vdots \\ \bar{\alpha} \end{bmatrix}$

从而 $\alpha = \beta + \gamma$ ，且 $\beta \in W_1, \gamma \in W_2$ ，即 $\R^n = W_1 + W_2$ 。

任取 $\eta \in W_1 \cap W_2$ ，则由 $\eta \in W_2$ 有

$\eta = \begin{bmatrix} c \\ c \\ \vdots \\ c \end{bmatrix}$

由 $\eta \in W_1$ 有 $nc = 0$ 得 $c = 0$ ，即 $\eta = \theta$ ，所以 $W_1 \cap W_2 = \{\theta\}$ ，从而 $\R^n = W_1 \oplus W_2$ 。

$W = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_m$ 的充要条件是

$\dim W = \dim W_1 + \dim W_2 + \cdots + \dim W_m$

概念

维数、基、坐标

线性子空间

概念

运算