线性变换

概念

设 $V_1,\, V_2$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。如果映射 $T\colon V_1 \mapsto V_2$ 满足：（$\dot{\oplus},\, \dot{\otimes}$ 代表 $V_1$ 上的加法和数乘运算，$\ddot{\oplus},\, \ddot{\otimes}$ 代表 $V_2$ 上的加法和数乘运算）

1. 对任意 $\alpha,\, \beta \in V_1$，有 $T(\alpha \dot{\oplus} \beta) = T(\alpha) \ddot{\oplus} T(\beta)$
2. 对任意 $\alpha \in V_1$ 和 $\lambda \in \mathbb{K}$，有 $T(\lambda \dot{\otimes} \alpha) = \lambda \ddot{\otimes} T(\alpha)$

则称 $T$ 是从 $V_1$ 到 $V_2$ 的线性映射。$V_1 = V_2 = V$ 时，称 $T$ 是 $V$ 上的线性变换。

线性映射性质

1. $T (\theta) = \theta$
2. $\displaystyle T\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i T\left(\alpha_i\right)$
3. 若 $\alpha_1,\, \alpha_2,\, \cdots \alpha_m$ 线性相关，则 $T(\alpha_1),\, T(\alpha_2),\, \cdots T(\alpha_m)$ 也线性相关（逆命题不成立）

线性映射例子

1. 矩阵：$\bm{A} \in M_{m \times n}(\R)$，线性映射 $T\colon \R^n \mapsto \R^m$ 定义为 $T(\bm{\alpha}) = \bm{A}\bm{\alpha}$。
2. 积分：设 $V_1 = C([a, b]),\, V_2 = \R$，线性映射 $T\colon V_1 \mapsto V_2$ 定义为 $T(f) = \displaystyle \int_a^b f(x) \d x$。
3. 微分：设 $V_1 = C^1([a, b]),\, V_2 = C([a, b])$，线性映射 $T\colon V_1 \mapsto V_2$ 定义为 $T(f) = f'$。（$C^1([a, b])$ 表示 $[a, b]$ 上一阶连续可导函数的集合，$C([a, b])$ 表示 $[a, b]$ 上连续函数的集合）
4. 数乘变换：$T\colon V \mapsto V$ 定义为 $T(\alpha) = \lambda \alpha$，其中 $\lambda \in \mathbb{K}$。
5. 恒等变换（单位变换）：$T\colon V \mapsto V$ 定义为 $T(\alpha) = \alpha$。
6. 零变换：$T\colon V \mapsto V$ 定义为 $T(\alpha) = \theta$。

1. 验证线性映射为单射：若 $T(\alpha_1) = T(\alpha_2)$，则 $\alpha_1 = \alpha_2 \iff$ 若 $T(\alpha) = \theta$，则 $\alpha = \theta$。
2. 验证线性映射为满射：对任意 $\beta \in V_2$，总有 $\alpha \in V_1$ 使得 $T(\alpha) = \beta$。

设 $V_1,\, V_2$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$T\colon V_1 \mapsto V_2$ 是线性映射。

$T$ 的核空间定义为 $\ker (T) = \{\alpha \in V_1 \mid T(\alpha) = \theta\}$（$\theta$ 为 $V_2$ 的零元）。$T$ 的像空间定义为 $\operatorname{Im} (T) = \{T(\alpha) \mid \alpha \in V_1\}$（也可记作 $\mathcal{R}$ \mathcal{R}）。

核空间和像空间都是线性子空间，其中 $\ker(T) \subseteq V_1,\, \operatorname{Im}(T) \subseteq V_2$。

对于矩阵线性映射 $T(\bm{\alpha}) = \bm{A}\bm{\alpha}$：

1. 求 $\operatorname{Im}(T)$ 的基就是找 $\bm{A}$ 的列向量组的极大线性无关组。
2. 求 $\ker(T)$ 的基就是找齐次方程组 $\bm{A} \bm{x} = \bm{\theta}$ 的基础解系。

线性变换的矩阵表示

设线性变换 $T\colon \bm{V} \mapsto \bm{V}$，其中线性空间 $\dim \bm{V} = n$，且 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 为 $\bm{V}$ 一组基。则对于任意 $\bm{\alpha} \in \bm{V}$，有

$$\bm{\alpha} = \sum_{i=1}^n x_i \bm{\varepsilon}_i$$

则有

$$T(\bm{\alpha}) = T\left(\sum_{i=1}^n x_i \bm{\varepsilon}_i\right) = \sum_{i=1}^n x_i T(\bm{\varepsilon}_i)$$

即 $T(\bm{\varepsilon}_1),\, T(\bm{\varepsilon}_2),\, \cdots,\, T(\bm{\varepsilon}_n)$ 唯一确定了 $T(\bm{\alpha})$。

又 $T(\bm{\varepsilon}_i) \in \bm{V}$，从而

$$T(\bm{\varepsilon}_i) = a_{1i} \bm{\varepsilon}_1 + a_{2i} \bm{\varepsilon}_2 + \cdots + a_{ni} \bm{\varepsilon}_n$$

从而

$$\begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}}_{\bm{A}}$$

$\bm{A}$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 下的矩阵。

对任意 $\bm{\alpha} \in \bm{V}$，若 $\bm{\alpha}$ 在基 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 下的坐标为 $\bm{x}$，则 $T(\bm{\alpha})$ 在基 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 下的坐标为 $\bm{A}\bm{x}$。其中 $\bm{A}$ 为线性变换 $T$ 在基 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 下的矩阵。

---

$$\begin{aligned} T(\bm{\alpha}) &= \begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{A} \bm{x} \end{aligned}$$

设 $n$ 维线性空间 $\bm{V}$ 有两组基 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 和 $\bm{\omega}_1,\, \bm{\omega}_2,\, \cdots,\, \bm{\omega}_n$，线性变换 $T\colon \bm{V} \mapsto \bm{V}$ 在这两组基下的矩阵分别为 $\bm{A}$ 和 $\bm{B}$，由 $\bm{\omega}_1,\, \bm{\omega}_2,\, \cdots,\, \bm{\omega}_n$ 到 $\bm{\varepsilon}_1,\, \bm{\varepsilon}_2,\, \cdots,\, \bm{\varepsilon}_n$ 的过渡矩阵为 $\bm{P}$，则有

$$\bm{B} = \bm{P}^{-1} \bm{A} \bm{P}$$

即线性变换 $T$ 在不同基下的矩阵相似。

---

证明：

已知

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} \bm{\omega}_1 & \bm{\omega}_2 & \cdots & \bm{\omega}_n \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{P} \\ \begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{A} \\ \begin{bmatrix} T(\bm{\omega}_1) & T(\bm{\omega}_2) & \cdots & T(\bm{\omega}_n) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bm{\omega}_1 & \bm{\omega}_2 & \cdots & \bm{\omega}_n \end{bmatrix} \bm{B} \end{aligned}$$

记 $\bm{P} = [c_{ij}]_{m \times n}$，则

$$\begin{bmatrix} T(\bm{\omega}_1) & T(\bm{\omega}_2) & \cdots & T(\bm{\omega}_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{P} \bm{B}$$

从而

$$\begin{aligned} T(\bm{\omega}_i) &= T\left(\begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1i} \\ c_{2i} \\ \vdots \\ c_{ni} \end{bmatrix}\right) \\ &= T\left(\sum_{k=1}^n c_{ki} \bm{\varepsilon}_k\right) \\ &= \begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1i} \\ c_{2i} \\ \vdots \\ c_{ni} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

得

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} T(\bm{\omega}_1) & T(\bm{\omega}_2) & \cdots & T(\bm{\omega}_n) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} \bm{P} \\ &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{A} \bm{P} \\ \end{aligned}$$

综合有

$$\begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{P} \bm{B} = \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{A} \bm{P}$$

则

$$\bm{P} \bm{B} = \bm{A} \bm{P}$$

即

$$\bm{B} = \bm{P}^{-1} \bm{A} \bm{P}$$

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} T(\bm{\omega}_1) & T(\bm{\omega}_2) & \cdots & T(\bm{\omega}_n) \end{bmatrix} &= T(\begin{bmatrix} \bm{\omega}_1 & \bm{\omega}_2 & \cdots & \bm{\omega}_n \end{bmatrix}) \\ &= T(\begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{P}) \\ &= T(\begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix}) \bm{P} \\ &= \begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} \bm{P} \\ \end{aligned}$$

总结

对 $\bm{V} = V(\mathbb{K})$ 有：

• 基：$\bm{\omega}_1 ,\, \cdots \bm{\omega}_n \xrightarrow{\bm{P}} \bm{\varepsilon}_1 ,\, \cdots \bm{\varepsilon}_n$
• $\bm{\alpha} \in \bm{V}$：$\bm{x} \in \R^n \xrightarrow{\bm{P}^{-1}} \bm{y} = \bm{P}^{-1} \bm{x} \in \R^n$
• 变换 $T$：$\bm{A} \xrightarrow{T} \bm{B} = \bm{P}^{-1} \bm{A} \bm{P}$

子空间的交

已知

$$\begin{cases} \bm{W}_1 = \span \left\lbrace \bm{\alpha}_1 ,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m \right\rbrace \\ \bm{W}_2 = \span \left\lbrace \bm{\beta}_1 ,\, \cdots,\, \bm{\beta}_n \right\rbrace \end{cases}$$

则有 $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2 = \left\lbrace \bm{\xi}\colon \bm{\xi} \in \bm{W}_1 \land \bm{\xi} \in \bm{W}_2 \right\rbrace$，即任意一个 $\bm{\xi}$ 都有

$$\bm{\xi} = \sum_{i = 1}^{m} \lambda_{i} \bm{\alpha}_i = \sum_{j = 1}^{n} \mu_{j} \bm{\beta}_j$$

从而有

$$\sum_{i = 1}^{m} \lambda_{i} \bm{\alpha}_i - \sum_{j = 1}^{n} \mu_{j} \bm{\beta}_j = \bm{\theta}$$

矩阵形式为

$$\begin{bmatrix} \bm{\alpha}_1 & \cdots & \bm{\alpha}_m & -\bm{\beta}_1 & \cdots & -\bm{\beta}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_m \\ \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{bmatrix} = \bm{\theta}$$

解齐次线性方程组，得到基础解系，即为 $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$ 的一组基。对基础解系任意一个向量，任选一组基即可，即下式中上下任选一个基即可。

$$\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_m \\ \hline \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{bmatrix}$$

子空间的和

实质上是求出 $\left\lbrace \bm{\alpha}_1 ,\, \cdots,\, \bm{\alpha}_m ,\, \bm{\beta}_1 ,\, \cdots,\, \bm{\beta}_n \right\rbrace$ 的一个极大线性无关组，即为 $\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 的一组基。

一样是解上面的齐次方程组，最后从行简化梯形矩阵中选出极大线性无关组即可。

实战

定义

$$f(t) = \begin{cases} 0, & t = 2k\pi,\, k \in \Z \\ \dfrac{\sin \left(\frac{n}{2} t\right) \sin \left(\frac{n+1}{2}t\right)}{\sin \frac{t}{2}}, & t \ne 2k\pi,\, k \in \Z \end{cases}$$

求 $f(t)$ 在基 $\sin t,\, \sin 2t,\, \cdots,\, \sin nt$ 下的坐标。

---

设

$$f(t) = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} \sin kt$$

则有

$$f(t) \sin mt = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} \sin kt \sin mt$$

两边从 $0$ 到 $2 \pi$ 积分，得

$$\begin{aligned} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \sin mt\d t &= \sum_{k = 1}^{n} c_{k} \int_{0}^{2 \pi} \sin kt \sin mt\d t \\ &= \pi c_{m} \end{aligned}$$

从而

$$c_{m} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \sin mt\d t$$

余计算略。

实际上有

$$c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 1$$

因为记

$$S = \sin t + \sin 2t + \cdots + \sin nt$$

则有

$$S \sin \tfrac{1}{2}t = \left(\cos \tfrac{1}{2}t - \cos \tfrac{3}{2}t\right) + \left(\cos \tfrac{3}{2}t - \cos \tfrac{5}{2}t\right) + \cdots + \left(\cos \tfrac{2n - 1}{2}t - \cos \tfrac{2n + 1}{2}t\right)$$

从而有 $S = f(t)$。

线代课学微积分

对积分

$$I = \int_{0}^{2 \pi} \sin kt \cdot \sin mt\d t$$

其中 $k$ 和 $m$ 为正整数，且 $k \le m$，则

$$I = \begin{cases} \pi, & k = m \\ 0, & k \ne m \end{cases}$$

---

证明：

$k \ne m$ 时，有

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^{2 \pi} \sin kt \cdot \sin mt\d t \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \left[\cos(k - m)t - \cos(k + m)t\right]\d t \\ &= \frac{1}{2} \left[\frac{\sin(k - m)t}{k - m} - \frac{\sin(k + m)t}{k + m}\right]\as_{0}^{2 \pi} \\ &= 0 \end{aligned}$$

而当 $k = m$ 时，有

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^{2 \pi} \sin^{2} kt\d t = \pi\\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \left(1 - \cos 2kt\right)\d t \\ &= \frac{1}{2} \left(t - \frac{\sin 2kt}{2k}\right)\as_{0}^{2 \pi} \\ &= \pi \end{aligned}$$

临近大二进行的补充，一学期没学线代，其实早已忘光了，所以接下来只是无情的复制机器。

特征值和特征向量

$n$ 维线性空间 $\bm{V}$ 上某个线性变换 $T$ 在不同基底下的矩阵是不同的。

因此想要找到一组基底，使得 $T$ 在这组基底下的矩阵具有尽可能简单的形式（对角矩阵）。

即找到一组基底

$$\bm{\varepsilon}_1 ,\, \bm{\varepsilon}_2 ,\, \cdots ,\, \bm{\varepsilon}_n$$

使得

$$\begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$$

亦即

$$\left\lbrace\begin{aligned} T(\bm{\varepsilon}_1) &= \lambda_1 \bm{\varepsilon}_1 \\ T(\bm{\varepsilon}_2) &= \lambda_2 \bm{\varepsilon}_2 \\ &\cdots \\ T(\bm{\varepsilon}_n) &= \lambda_n \bm{\varepsilon}_n \end{aligned}\right.$$

设 $\bm{V} = V(\mathbb{K})$，$T$ 是 $\bm{V}$ 上的一个线性变换。若对 $\mathbb{K}$ 中的一个数 $\lambda$，存在 $\bm{V}$ 中的一个非零向量 $\bm{\xi}$，使得

$$T(\bm{\xi}) = \lambda \bm{\xi}$$

则称 $\lambda$ 是 $T$ 的一个特征值，$\bm{\xi}$ 是 $T$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量。

设 $\bm{V} = V(\mathbb{K})$，$T$ 是 $\bm{V}$ 上的一个线性变换。则 $T$ 的属于特征值 $\lambda$ 的所有特征向量与零向量共同构成了 $\bm{V}$ 的一个子空间，称为线性变换 $T$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征子空间，记作

$$\bm{V}_{\lambda} = \left\lbrace \bm{\xi} \in \bm{V} \mid T(\bm{\xi}) = \lambda \bm{\xi} \right\rbrace$$

证明

任取 $\bm{\xi}_1, \bm{\xi}_2 \in \bm{V}_{\lambda}$，当 $\bm{\xi}_1 + \bm{\xi}_2 \ne \bm{\theta}$ 时，因

$$\begin{aligned} T(\bm{\xi}_1 + \bm{\xi}_2) &= T(\bm{\xi}_1) + T(\bm{\xi}_2) \\ &= \lambda \bm{\xi}_1 + \lambda \bm{\xi}_2 \\ &= \lambda (\bm{\xi}_1 + \bm{\xi}_2) \end{aligned}$$

即 $\bm{\xi}_1 + \bm{\xi}_2 \in \bm{V}_{\lambda}$。

当 $\bm{\xi} \in \bm{V}_{\lambda}$，$\lambda \in \mathbb{K}$ 时，对任意 $k \in \mathbb{K}, k \ne 0$，有

$$\begin{aligned} T(k \bm{\xi}) &= k T(\bm{\xi}) \\ &= k \lambda \bm{\xi} \\ &= \lambda (k \bm{\xi}) \end{aligned}$$

即 $k \bm{\xi} \in \bm{V}_{\lambda}$。

说明 $\bm{V}_{\lambda}$ 对加法和数乘封闭，故 $\bm{V}_{\lambda}$ 是 $\bm{V}$ 的一个子空间。

为了表示 $\bm{V}_{\lambda}$ 中全部向量，需要求得 $\bm{V}_{\lambda}$ 的一组基。

可以先求出 $T$ 的所有特征值，再求出每个特征值对应的线性无关的特征向量。

线性空间 $\bm{V} = V(\mathbb{K})$ 上的线性变换 $T$ 在选定的一组基 $\bm{\varepsilon}_1 ,\, \bm{\varepsilon}_2 ,\, \cdots ,\, \bm{\varepsilon}_n$ 下的矩阵为 $\bm{A} = [a_{ij}]_{n}$，即

$$\begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{A}$$

设 $\lambda \in \mathbb{K}$ 是 $T$ 的一个特征值，$\bm{\xi}$ 是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的一个特征向量，即

$$T(\bm{\xi}) = \lambda \bm{\xi},\quad \bm{\xi} \ne \bm{\theta}$$

令

$$\begin{aligned} \bm{\xi} &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{x}\\ \bm{x} &= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \end{aligned}$$

则

$$\begin{aligned} T \bm{\xi} &= T\left(\begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{x}\right)\\ &= T\left(\begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix}\right) \bm{x}\\ &= \begin{bmatrix} T(\bm{\varepsilon}_1) & T(\bm{\varepsilon}_2) & \cdots & T(\bm{\varepsilon}_n) \end{bmatrix} \bm{x}\\ &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \bm{A} \bm{x} \end{aligned}$$

又

$$\begin{aligned} T \bm{\xi} &= \lambda \bm{\xi}\\ &= \begin{bmatrix} \bm{\varepsilon}_1 & \bm{\varepsilon}_2 & \cdots & \bm{\varepsilon}_n \end{bmatrix} \lambda \bm{x} \end{aligned}$$

由于 $\bm{\varepsilon}_1 ,\, \bm{\varepsilon}_2 ,\, \cdots ,\, \bm{\varepsilon}_n$ 线性无关，故有

$$\bm{A} \bm{x} = \lambda \bm{x}$$

即特征向量 $\bm{\xi}$ 的坐标 $\bm{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}$ 满足齐次线性方程组

$$(\lambda \bm{E} - \bm{A}) \bm{x} = \bm{\theta}$$

而 $\bm{\xi} \ne \bm{\theta}$，故 $\bm{x} \ne \bm{\theta}$，即 $\lambda \bm{E} - \bm{A}$ 为奇异矩阵，即

$$\left\lvert \lambda \bm{E} - \bm{A} \right\rvert = 0$$

即 $\lambda$ 是 $\bm{A}$ 的特征值。

不变子空间

设 $T$ 是线性空间 $\bm{V}$ 上的一个线性变换，$\bm{W}$ 是 $\bm{V}$ 的一个子空间。若对任意 $\bm{\alpha} \in \bm{W}$，有 $T(\bm{\alpha}) \in \bm{W}$，则称 $\bm{W}$ 是 $T$ 的一个不变子空间。

由于零子空间 $\left\lbrace \bm{\theta} \right\rbrace$ 和整个空间 $\bm{V}$ 对任意 $T$ 都是 $T$ 的不变子空间，故称为平凡不变子空间。除此以外的不变子空间称为非平凡不变子空间。

1. 线性空间 $\bm{V}$ 的任意子空间都是数乘变换的不变子空间。
2. 线性空间 $\bm{V}$ 上的线性变换 $T$ 的像空间 $\operatorname{Im}(T)$、核空间 $\ker(T)$ 和特征子空间 $\bm{V}_{\lambda}$ 都是 $T$ 的不变子空间。
3. 线性变换 $T$ 的不变子空间的交与和都是 $T$ 的不变子空间。

证明

1. 设 $\bm{W}$ 是 $\bm{V}$ 的一个子空间，$\bm{\alpha} \in \bm{W}$，设线性变换 $T$ 为 $T(\bm{\alpha}) = k \bm{\alpha}$，其中 $k \in \mathbb{K}$。则有 $T(\bm{\alpha}) \in \bm{W}$，即 $\bm{W}$ 是 $T$ 的不变子空间。

2. 任取 $\bm{\alpha} \in \operatorname{Im}(T)$，因 $T \bm{\alpha} \in \operatorname{Im}(T)$，故 $\operatorname{Im}(T)$ 是 $T$ 的不变子空间。同理，$\ker(T)$ 也是 $T$ 的不变子空间。设 $\bm{V}_{\lambda}$ 是 $T$ 的任一特征子空间，任取 $\bm{\alpha} \in \bm{V}_{\lambda}$，因 $T \bm{\alpha} = \lambda \bm{\alpha} \in \bm{V}_{\lambda}$，所以 $\bm{V}_{\lambda}$ 是 $T$ 的不变子空间。

3. 设 $\bm{W}_1$ 和 $\bm{W}_2$ 是 $T$ 的两个不变子空间，任取 $\bm{\alpha} \in \bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$，则有 $T \bm{\alpha} \in \bm{W}_1$ 且 $T \bm{\alpha} \in \bm{W}_2$，即 $T \bm{\alpha} \in \bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$，所以 $\bm{W}_1 \cap \bm{W}_2$ 是 $T$ 的不变子空间。设 $\bm{W}_1$ 和 $\bm{W}_2$ 是 $T$ 的两个不变子空间，任取 $\bm{\alpha} \in \bm{W}_1 + \bm{W}_2$，则有 $\bm{\alpha} = \bm{\alpha}_1 + \bm{\alpha}_2$，其中 $\bm{\alpha}_1 \in \bm{W}_1$ 且 $\bm{\alpha}_2 \in \bm{W}_2$，则有 $T \bm{\alpha} = T \bm{\alpha}_1 + T \bm{\alpha}_2$，即 $T \bm{\alpha} \in \bm{W}_1 + \bm{W}_2$，所以 $\bm{W}_1 + \bm{W}_2$ 是 $T$ 的不变子空间。