分析力学初步

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分析力学

我也不知道分析力学跟信物有什么关系。

总感觉信物上着跟没上没啥区别，除了做作业。没感觉我学到了什么，但又讲了很多。期中前看能不能把分析力学以前的知识点整理一下。

参考知乎 - 你的小睿子 - 从零学分析力学（拉格朗日力学篇）。

一些概念

虚位移

在时间和空间位置确定的情况下，虚位移是符合约束条件的任意无穷小位移，用 δr⃗\delta \vec{r} 表示。

由此定义，虚位移所需时间为 00。

同理可定义虚功。

而质点的速度必定在质点位置处的切平面内，故质点的虚位移也在切平面内，这说明质点的虚位移和所受约束力相互垂直，所以约束力所做虚功为零。

对于上面的这个结论，考虑这样一个情景：两个可看作质点的小球在光滑平面上运动，小球之间存在一根质量可忽略的刚性杆。

这个时候小球所受的约束力就有两个，一是平面的支持力，二是杆对小球的作用力。

由上面我们知道「支持力做的虚功为零」，但杆的作用力与虚位移不垂直，虚功不为零。

对这个情景推导一下：

刚性杆的约束方程可表述为

(r⃗1−r⃗2)2=l2\left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right)^2 = l^2

微分得

 ⁣d(r⃗1−r⃗2)2= ⁣dl2=0\d \left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right)^2 = \d l^2 =0

而

 ⁣d(r⃗1−r⃗2)2=2(r⃗1−r⃗2) ⁣d(r⃗1−r⃗2)=2(r⃗1−r⃗2)( ⁣dr⃗1− ⁣dr⃗2)\begin{aligned} \d \left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right)^2 &= 2\left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right) \d \left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right) \\ &= 2\left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right) \left( \d \vec{r}_1 - \d \vec{r}_2 \right) \\ \end{aligned}

由「牛顿第三定律」知刚性杆对小球的作用力是等大反向的，而且和两小球连线共线。

由此可设 N⃗1=−N⃗2=λ(r⃗1−r⃗2)\vec{N}_1=-\vec{N}_2=\lambda\left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right) 。

虚功

δW=N⃗1⋅δr⃗1+N⃗2⋅δr⃗2=λ(r⃗1−r⃗2)⋅δr⃗1−λ(r⃗1−r⃗2)⋅δr⃗2=λ(r⃗1−r⃗2)⋅(δr⃗1−δr⃗2)=0\begin{aligned} \delta W &= \vec{N}_1 \cdot \delta \vec{r}_1 + \vec{N}_2 \cdot \delta \vec{r}_2 \\ &= \lambda\left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right) \cdot \delta \vec{r}_1 - \lambda\left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right) \cdot \delta \vec{r}_2 \\ &= \lambda\left( \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right) \cdot \left( \delta \vec{r}_1 - \delta \vec{r}_2 \right) \\ &=0 \end{aligned}

然而这不代表「三个及以上质点的系统，约束力的总虚功也一定为零」。

不过可以进行新定义：

理想约束

将约束力的总虚功为零的约束称为理想约束。

由此可得理想约束下的约束力的总虚功为 00。

同时可得，力学系统所受理想约束力的总虚功为零。

一般来说，光滑没有摩擦力就是理想约束。

是有点循环论证的意思。

达朗贝尔原理

牛顿第二定律得

F⃗+N⃗=mr⃗¨\vec{F} + \vec{N} = m\ddot{\vec{r}}

其中 F⃗\vec{F} 是质点所受的主动力，N⃗\vec{N} 是质点所受的理想约束力。

两边同乘 δr⃗\delta \vec{r} 得

F⃗⋅δr⃗+N⃗⋅δr⃗=mr⃗¨⋅δr⃗\vec{F} \cdot \delta \vec{r} + \vec{N} \cdot \delta \vec{r} = m\ddot{\vec{r}} \cdot \delta \vec{r}

理想约束得 N⃗⋅δr⃗=0\vec{N}\cdot \delta \vec{r}=0，所以

(F⃗−mr⃗¨)⋅δr⃗=0\left( \vec{F} - m\ddot{\vec{r}} \right) \cdot \delta \vec{r} = 0

其中 −mr⃗¨-m\ddot{\vec{r}} 称为惯性力。

对多个质点的系统，一样有成立，由此得

达朗贝尔原理

∑i=1n(F⃗i−mir⃗¨i)⋅δr⃗i=0\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left( \vec{F}_i - m_i\ddot{\vec{r}}_i \right) \cdot \delta \vec{r}_i = 0

无约束条件下，质点相互无影响，δr⃗i\delta \vec{r}_i 相互独立且不为 00，由此有 ∑i=1n(F⃗i−mir⃗¨i)=0⃗\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(\vec{F}_i-m_i\ddot{\vec{r}}_i\right)=\vec{0}，即 F⃗=mr⃗¨\vec{F}=m\ddot{\vec{r}}，这就是牛顿第二定律了。

为何为 00 还需想一想。

达朗贝尔原理一特殊情况：系统处于平衡态，即 r⃗¨i=0⃗\ddot{\vec{r}}_i=\vec{0}，此时达朗贝尔原理变为

虚功原理

∑i=1nF⃗i⋅δr⃗i=0\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i = 0

广义坐标

描述平面内任意两个质点组成的系统需要至少四个量 x1,x2,y1,y2x_1, x_2, y_1, y_2，则称这个系统的自由度为 44。

当用两根刚性杆分别连接坐标原点和第一个质点及两个质点时，y1,y2y_1, y_2 就可由 x1,x2x_1, x_2 确定，此时系统的自由度为 22。

由此我们可以推出，对于空间中 nn 个质点的系统，有 pp 个约束力，则该系统的自由度为 s=3n−ps=3n-p。

那我们就可以用 ss 个量来描述这个系统，这 ss 个量就是广义坐标，记作 q1,q2,⋯ ,qsq_1, q_2, \cdots, q_{s}。

从广义坐标的定义可以知道，ss 个广义坐标彼此独立，互不关联。

这样我们就能去掉达朗贝尔原理中的 δr⃗i\delta \vec{r}_i。

拉格朗日方程

原来的 nn 个坐标是 q1, q2, ⋯ , qs, tq_1,\, q_2,\, \cdots ,\, q_s,\, t 的函数，记为 r⃗i=r⃗i(q1, q2, ⋯ , qs, t)\vec{r}_i=\vec{r}_i(q_1,\, q_2 ,\, \cdots ,\, q_s,\, t)，其中 i=1, 2, ⋯ , ni=1,\, 2,\, \cdots ,\, n。

由全微分

 ⁣dr⃗i=∑α=1s∂r⃗i∂qα ⁣dqα+∂r⃗i∂t ⁣dt\d \vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{s}\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}\d q_\alpha+\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t}\d t

全微分我还不知道，但似乎也没啥问题。

用 δ\delta 代替  ⁣d\d，并考虑到 δt=0\delta t=0，则有

δr⃗i=∑α=1s∂r⃗i∂qαδqα\delta \vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{s}\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha

据称，δ\delta 与  ⁣d\d 运算法则相同，我暂时还不知道二者区别。

由虚位移的定义知，δt=0\delta t=0。

代入达朗贝尔原理得

∑i=1n((F⃗i−mir⃗¨i)⋅∑α=1s∂r⃗i∂qαδqα)=0\sum_{i=1}^{n}\left(\left( \vec{F}_i-m_i\ddot{\vec{r}}_i \right) \cdot \sum_{\alpha=1}^{s}\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha\right)=0

提出 δqα\delta q_\alpha，而我们知道 δqα\delta q_\alpha 是相互独立的，因此括号里的乘数为 00，有

∑i=1n(F⃗i−mir⃗¨i)⋅∂r⃗i∂qα=0\sum_{i=1}^{n}\left( \vec{F}_i-m_i\ddot{\vec{r}}_i \right) \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}=0

方程两项分别进行考虑：

第一项，定义 Qα=∑i=1nF⃗i⋅∂r⃗i∂qαQ_{\alpha}= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}，称为广义力。

广义力与广义坐标有关，检查量纲也发现是正确的。

第二项是 ∑i=1nmir⃗¨i⋅∂r⃗i∂qα\displaystyle \sum_{i=1}^{n}m_i\ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}，涉及到在笛卡尔坐标系的加速度 r⃗¨i\ddot{\vec{r}}_i，需要进行转换。

考虑体系总动能 TT

T=∑i=1n12mir⃗˙i2T=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{2}m_i\dot{\vec{r}}{}_i^2

由导数的乘法运算 (uv)′=uv′+u′v(uv)'=uv' + u' v 知

∑i=1nmir⃗¨i⋅∂r⃗i∂qα= ⁣d ⁣dt(∑i=1nmir⃗˙i⋅∂r⃗i∂qα)−∑i=1nmir⃗˙i⋅ ⁣d ⁣dt∂r⃗i∂qα\displaystyle \sum_{i=1}^{n}m_i\ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha} = \frac{\d}{\d t}\left( \sum_{i=1}^{n}m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha} \right) - \sum_{i=1}^{n}m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\d}{\d t} \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}

这里需要详细说一下，毕竟 uu 和 vv 可能并不明显。

uu 是 ∂r⃗i∂qα\dfrac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}，vv 是 mir⃗˙im_i \dot{\vec{r}}_i。

因此上面的式子实际上就是

uv′=(uv)′−u′vuv' = (uv)' - u' v

然后运用拉格朗日关系

拉格朗日关系

 ⁣∂r⃗i ⁣∂qα= ⁣∂r⃗˙i ⁣∂q˙α\dfrac{\pd \vec{r}_i}{\pd q_\alpha}=\dfrac{\pd \dot{\vec{r}}_i}{\pd \dot{q}_\alpha}

 ⁣d ⁣dt∂r⃗i∂qα=∂∂qα ⁣dr⃗i ⁣dt=∂r⃗˙i∂qα\frac{\d}{\d t} \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha} = \frac{\partial }{\partial q_\alpha} \dfrac{\d \vec{r}_i}{\d t}= \frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial q_\alpha}

先用着，证明晚点看，晚点写。

得

∑i=1nmir⃗¨i⋅∂r⃗i∂qα= ⁣d ⁣dt(∑i=1nmir⃗˙i⋅∂r⃗˙i∂q˙α)−∑i=1nmir⃗˙i⋅∂r⃗˙i∂qα= ⁣d ⁣dt ⁣∂ ⁣∂q˙α(∑i=1n12mir⃗˙i2)− ⁣∂ ⁣∂qα(∑i=1n12mir⃗˙i2)= ⁣d ⁣dt ⁣∂T ⁣∂q˙α− ⁣∂T ⁣∂qα\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}m_i\ddot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha} &= \frac{\d}{\d t}\left( \sum_{i=1}^{n}m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \sum_{i=1}^{n}m_i\dot{\vec{r}}_i \cdot \frac{\partial \dot{\vec{r}}_i}{\partial q_\alpha}\\ &= \frac{\d}{\d t}\dfrac{\pd }{\pd \dot{q}_\alpha}\left( \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{2} m_i \dot{\vec{r}}{}_i^2 \right) - \dfrac{\pd }{\pd q_\alpha}\left( \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{2} m_i \dot{\vec{r}}{}_i^2 \right)\\ &= \frac{\d}{\d t}\dfrac{\pd T}{\pd \dot{q}_\alpha} - \dfrac{\pd T}{\pd q_\alpha} \end{aligned}

第二个等号的原理是

r⃗˙i ⁣∂r⃗˙i=12 ⁣∂r⃗˙i2\dot{\vec{r}}_i \pd \dot{\vec{r}}_i = \frac{1}{2} \pd \dot{\vec{r}}{}_i^2

简单的微分运算，只不过塞在一大块里，可能看起来很复杂。

因此式子化简为

一般情况下的拉格朗日方程

 ⁣d ⁣dt ⁣∂T ⁣∂q˙α− ⁣∂T ⁣∂qα=Qα\frac{\d}{\d t}\dfrac{\pd T}{\pd \dot{q}_\alpha} - \dfrac{\pd T}{\pd q_\alpha} = Q_\alpha

解释一下其中的量：

  • TT 是体系的总动能
  • qαq_\alpha 是广义坐标
  • q˙α\dot{q}_\alpha 是广义速度
  • QαQ_\alpha 是广义力

同时定义广义动量 Pα= ⁣∂T ⁣∂q˙αP_\alpha=\dfrac{\pd T}{\pd \dot{q}_\alpha}。

验证一下：令 T=12mv2, q˙α=vT=\dfrac{1}{2}mv^2,\, \dot{q}_\alpha=v 得 Pα=mvP_\alpha=mv，符合动量的定义。

在笛卡尔坐标系下，取 T=12mv2, q˙α=vT=\dfrac{1}{2}mv^2,\,\dot{q}_\alpha=v，动能与广义坐标无关，与广义坐标的导数，也即广义速度有关。

此时拉格朗日方程化为 mr⃗¨=F⃗m\ddot{\vec{r}}=\vec{F}，即牛顿第二定律。

考虑力学系统中所受的主动力全为保守力的情况：

保守力

做的功与路径无关，仅与起点和终点有关的作用力称为保守力。

主动力全为保守力，力学系统存在势能 UU，且只与 r⃗i\vec{r}_i 有关，即 U=U(r⃗1, r⃗2, ⋯ , r⃗n)U=U(\vec{r}_1,\, \vec{r}_2,\, \cdots ,\, \vec{r}_n)。

引入势能后，力可以用势能进行表示，即 F⃗i=− ⁣∂U ⁣∂r⃗i\vec{F}_i=-\dfrac{\pd U}{\pd \vec{r}_i}。

负号我猜测是因为，如果力为正，那么势能减小，偏导就为负。

比如重力做功，那么重力势能就会减小。

则广义力 Qα=∑i=1nF⃗i⋅∂r⃗i∂qα=−∑i=1n ⁣∂U ⁣∂r⃗i⋅∂r⃗i∂qα=− ⁣∂U ⁣∂qαQ_\alpha=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}=-\sum_{i=1}^{n}\frac{\pd U}{\pd \vec{r}_i} \cdot \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha}=-\frac{\pd U}{\pd q_\alpha}。

代入拉格朗日方程得

 ⁣d ⁣dt ⁣∂T ⁣∂q˙α− ⁣∂T ⁣∂qα=− ⁣∂U ⁣∂qα  ⟹   ⁣d ⁣dt ⁣∂T ⁣∂q˙α− ⁣∂(T−U) ⁣∂qα=0\frac{\d}{\d t}\dfrac{\pd T}{\pd \dot{q}_\alpha} - \dfrac{\pd T}{\pd q_\alpha} = -\frac{\pd U}{\pd q_\alpha} \implies \frac{\d}{\d t}\dfrac{\pd T}{\pd \dot{q}_\alpha} - \dfrac{\pd (T-U)}{\pd q_\alpha} = 0

而势能 UU 与广义速度 q˙α\dot{q}_\alpha 无关，因此  ⁣∂U ⁣∂q˙α=0\dfrac{\pd U}{\pd \dot{q}_\alpha}=0，有

 ⁣d ⁣dt ⁣∂(T−U) ⁣∂q˙α− ⁣∂(T−U) ⁣∂qα=0\frac{\d}{\d t}\dfrac{\pd (T-U)}{\pd \dot{q}_\alpha} - \dfrac{\pd (T-U)}{\pd q_\alpha} = 0

定义拉格朗日函数 L=T−UL=T-U，则有

保守体系的拉格朗日方程

 ⁣d ⁣dt ⁣∂L ⁣∂q˙α− ⁣∂L ⁣∂qα=0\frac{\d}{\d t}\dfrac{\pd L}{\pd \dot{q}_\alpha} - \dfrac{\pd L}{\pd q_\alpha} = 0

更准确的说，这是保守体系下完整系统的拉格朗日方程。

完整约束和不完整约束的部分我先跳过。

下面将讲最速降线、泛函和变分，而我还没看明白，所以本篇内容先到这里。

本篇内容（至此）全在 CPL 课上完成。非常感谢知乎文章的作者，与 Copilot 的鼎力支持（好多公式都是 Copilot 写的）。