机械振动和电磁振荡

谐振动

如果物体受力的大小与物体对其平衡位置的位移成正比而方向相反，即

$$F = -kx$$

或

$$\dfrac{\d^2 x}{\d t^2} + \omega^2 x = 0$$

则称物体做谐振动，其中 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ 称为谐振动的角频率，$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ 称为谐振动的周期。

通解为

$$\boxed{ x = A \cos(\omega t + \phi_0) }$$

也可写作

$$x = A \e^{\i (\omega t + \phi_0)}$$

有

$$\begin{cases} A = \sqrt{x_0^2 + \left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2} \\ \phi_0 = \arctan \left(- \dfrac{v_0}{\omega x_0} \right) \end{cases}$$

谐振波的能量

$$\boxed{E = \dfrac{1}{2} k A^2}$$

阻尼振动

若阻力与速度成正比，即

$$F_{\mathrm{f}} = - \gamma \dfrac{\d x}{\d t}$$

则称物体做阻尼振动，其中 $\gamma$ 称为阻力系数。

物体运动方程为

$$m \dfrac{\d^2 x}{\d t^2} = -k x - \gamma \dfrac{\d x}{\d t}$$

令

$$\delta = \dfrac{\gamma}{2m}$$

为阻尼系数，则微分方程通解为

$$\boxed{ x = A \e^{-\delta t} \cos(\omega' t + \phi_0') }$$

其中

$$\omega' = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}$$

则

$$T = \dfrac{2\pi}{\omega'} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\omega^2 - \delta^2}}$$

受迫振动

假设驱动力

$$F_{\mathrm{d}} = F_0 \cos \omega_{\mathrm{d}} t$$

其中 $F_0$ 为驱动力的最大值，$\omega_{\mathrm{d}}$ 为驱动力的角频率，则物体运动方程为

$$m \dfrac{\d^2 x}{\d t^2} = -k x - \gamma \dfrac{\d x}{\d t} + F_0 \cos \omega_{\mathrm{d}} t$$

或

$$\dfrac{\d^2 x}{\d t^2} + 2 \delta \dfrac{\d x}{\d t} + \omega_0^2 x = \dfrac{F_0}{m} \cos \omega_{\mathrm{d}} t$$

阻尼较小时，解为

$$x = A_0 \e^{-\delta t} \cos(\sqrt{w_0^2 - \delta^2} t + \phi_0') + A \cos(\omega_{\mathrm{d}} t + \phi)$$

稳定后

$$x = A \cos(\omega_{\mathrm{d}} t + \phi)$$

1. 受迫振动的角频率不是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率。
2. 受迫振动的振幅不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。
3. 相位是稳态受振动的位移和驱动力的相位差，这也与初始条件无关。

有

$$\begin{aligned} A &= \dfrac{F_0}{m \sqrt{(\omega_0^2 - \omega_{\mathrm{d}}^2)^2 + (2 \delta \omega_{\mathrm{d}})^2}} \\ \tan \phi &= \dfrac{2 \delta \omega_{\mathrm{d}}}{\omega_{\mathrm{d}}^2 - \omega_{0}^2} \end{aligned}$$

稳定时

$$v = \dfrac{\d x}{\d t} = v_{\mathrm{m}} \cos\left(\omega_{\mathrm{d}} t + \phi + \dfrac{\pi}{2}\right)$$

其中

$$v_{\mathrm{m}} = \omega_{\mathrm{d}} A$$

共振

位移振幅最大时，令 $\dfrac{\d A}{\d \omega_{\mathrm{d}}} = 0$，有共振角频率

$$\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - 2 \delta^2}$$

速度共振，令 $\dfrac{\d v_{\mathrm{m}}}{\d \omega_{\mathrm{d}}} = 0$，有共振角频率

$$\omega' = \omega_0$$

电磁振动

无阻尼 LC 振荡电路自由振荡频率和周期分别为

$$\nu = \dfrac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$

电流振幅表示电流最大值，有

$$I_0 = \omega Q_0$$

其中 $Q_0$ 为电荷振幅，表示电荷最大值。

总能量

$$W = \dfrac{Q_0^2}{2 C}$$

$\omega_{\mathrm{d}} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ 时，电路中的电流振幅最大。

即外加电动势的频率和自由振荡的固有频率相等时，电路中的电流振幅最大，值为 $\dfrac{\mathscr{E}_0}{R}$。这种在周期性电动势作用下，电路中电流振幅最大的现象称为电共振。

此时电流与外加电动势相位差 $\phi' = 0$。

力电类比

机械振动	电磁振动（串联电路）
位移 $x$	电荷 $q$
速度 $v$	电流 $i$
质量 $m$	电感 $L$
劲度系数 $k$	电容倒数 $\dfrac{1}{C}$
阻力系数 $\gamma$	电阻 $R$
驱动力 $F_{\mathrm{d}}$	电动势 $\mathscr{E}$
弹性势能 $\dfrac{1}{2} k x^2$	电场能量 $\dfrac{1}{2} C q^2$
动能 $\dfrac{1}{2} m v^2$	磁场能量 $\dfrac{1}{2} L i^2$