数据的机器表示

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比特（bit）是计算机中最小的存储单位，只能存储 0 或 1。比特是「二进制位」（binary digit）的缩写。

8 个比特组成一个字节（byte），一个字节能表示 256 种不同的状态。

整数数据类型

无符号整数

像十进制一样，没什么好说的。比如 00011110(2)=30(10)00011110_{(2)} = 30_{(10)}，因为

0×27+0×26+0×25+1×24+1×23+1×22+1×21+0×20=300 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 30

使用 nn 个比特可以表示 2n2^n 个不同的状态，所以 nn 个比特可以表示 00 到 2n−12^n - 1 的整数，一个字节可以表示 00 到 255255 的整数。

有符号整数

最符合直觉的，自然是拿出一位（比如最高位）来表示符号，00 表示正数，11 表示负数，这就是原码。例如 1101(2)=−5(10)1101_{(2)} = -5_{(10)}，因为

(−1)1(1×23+1×22+0×21+1×20)=−5(-1)^{1}\left(1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0\right) = -5

但是这样有一个问题，就是 00 有两种表示方法，0000(2)0000_{(2)} 和 1000(2)1000_{(2)}，即 +0+0 与 −0-0，相当于浪费了一个状态。

还有一种方法，既然正数负数互为相反数，取「反」意，将正数按位取反，就得到了反码。例如 1101(2)=−2(10)1101_{(2)} = -2_{(10)}，因为最高位是 11，所以是负数，然后取反得到 0010(2)0010_{(2)}，然后加 11 得到 0010(2)0010_{(2)}，即 2(10)2_{(10)}，再加个负号就是 −2(10)-2_{(10)}。

不过还是一样有 0000(2)0000_{(2)} 与 1111(2)1111_{(2)} 的 +0+0 与 −0-0 问题。

而且，这样的表示方法，加法和减法的运算都不方便。下面分别是按十进制进位法计算原码和反码的加法：

+0100(4)+1011(−3)=1111(−7)\begin{array}{r} &\phantom{+}&0100&(4) \\ &+&1011&(-3) \\ \hline &=&1111&(-7) \end{array}

+0100(4)+1100(−3)=0000(0)\begin{array}{r} &\phantom{+}&0100&(4) \\ &+&1100&(-3) \\ \hline &=&0000&(0) \end{array}

不可以按正常思路那样，一位一位加，然后进位，而是需要判断符号等。

补码解决上面的问题。

对于自然数，补码与原码相同。

对于负数，为了简化加法，我们想要实现 AA 与 −A-A 的二进制表示相加（指符合常识的，也就是上面竖式计算的方式）等于 00，即 A+(−A)=0A + (-A) = 0。

当然加成 0000(2)0000_{(2)} 显然是不可能的，除非两个整数都是 00，但是可以像上面反码那样，进一位成 10000(2)10000_{(2)}，忽略最高进位，于是变回 0000(2)0000_{(2)}。

那么对于 nn 位，AA 的补码直接解释过来（即视为无符号）就应该是 2n−A2^n - A。

考虑反码，可以注意到原码和反码直接解释（同上）的和，就是所有位全为 11，也就是 2n−12^n - 1，也就是说，AA 的反码直接解释是 2n−A−12^n - A - 1。

也就是说，补码是反码加 11。

使用补码，00 的表示方法就唯一，可以多一种状态以表示 −2n−1-2^{n - 1}，而且方便进行加法运算，比如说上面的例子

+0100(4)+1101(−3)=0001(1)\begin{array}{r} &\phantom{+}&0100&(4) \\ &+&1101&(-3) \\ \hline &=&0001&(1) \end{array}

进制转换

二进制转十进制

自然数（最高位为 00）转换非常简单。有意思的是，对于负数（最高位为 11），也可以通过取反加一得到十进制表示的数值的绝对值的原码。原理如下

(2n−(2n−A)−1)+1=A\Bigl(2^n - (2^n - A) - 1\Bigr) + 1 = A

十进制转二进制

只需要了解正整数的转换，因为负数根据上面说的，只需要了解其绝对值的转换。

具体方法就是，不断除以 22，然后取余数，直到商为 00，然后把余数倒过来就是二进制表示。即「除 22 取余」法。

例如 123123，有

123=61×2+161=30×2+130=15×2+015=7×2+17=3×2+13=1×2+11=0×2+1\begin{aligned} 123 &= 61 \times 2 + \kern{-0.8em}&1 \\ 61 &= 30 \times 2 + \kern{-0.8em}&1 \\ 30 &= 15 \times 2 + \kern{-0.8em}&0 \\ 15 &= 7 \times 2 + \kern{-0.8em}&1 \\ 7 &= 3 \times 2 + \kern{-0.8em}&1 \\ 3 &= 1 \times 2 + \kern{-0.8em}&1 \\ 1 &= 0 \times 2 + \kern{-0.8em}&1 \\ \end{aligned}

从而得到 123(10)=01111011(2)123_{(10)} = 01111011_{(2)}。

二进制与八进制/十六进制互转

二进制转八进制，每三位二进制数对应一位八进制数，即 000→0, 001→1, ⋯ , 111→7000 \to 0,\, 001 \to 1,\,\cdots,\, 111 \to 7。

二进制转十六进制，每四位二进制数对应一位十六进制数，即 0000→0, 0001→1, ⋯ , 1111→F0000 \to 0,\, 0001 \to 1,\,\cdots,\, 1111 \to \mathrm{F}。

反过来一样，每一位八进制数对应三位二进制数，每一位十六进制数对应四位二进制数。

上面说的「每」，是从低位开始的。

小数的二进制表示

定点数十进制转二进制方法是「乘 22 取整」，从上到下整数部分为从高到低小数位。例如

0.6875×2=1.3750.375×2=0.750.75×2=1.50.5×2=1.0\begin{aligned} &0.6875 \times 2 = \kern{-0.8em}&\textcolor{FF9900}{1}.&375\\ &0.375 \times 2 = \kern{-0.8em}&\textcolor{FF9900}{0}.&75\\ &0.75 \times 2 = \kern{-0.8em}&\textcolor{FF9900}{1}.&5\\ &0.5 \times 2 = \kern{-0.8em}&\textcolor{FF9900}{1}.&0 \end{aligned}

那么 0.6875=0.1011(2)0.6875 = 0.1011_{(2)}。

算术运算

运算时，用 00 扩展正数的左端，用 11 扩展负数的左端，这个过程称为符号扩展。如 −4(10)=1100(2)-4_{(10)} = 1100_{(2)}，应当扩展为 111111111111⏞121100\overbrace{111111111111}^{12}1100（十六位）。

溢出只需要检查两个正数（负数）相加得到负数（正数）的情况，即可判断是否溢出。

逻辑运算

  • 与 AND：A⋅BA \cdot B
  • 或 OR：A+BA + B
  • 非 NOT：Aˉ\bar{A}
  • 异或 XOR：A⊕BA \oplus B

ASCII 码

一个字符占一个字节，即 88 位。

几个特征：

  1. 00-99 的 ASCII 码是 30(16)30_{(16)}-39(16)39_{(16)}
  2. A\mathrm{A}-Z\mathrm{Z} 的 ASCII 码是 41(16)41_{(16)}-5A(16)5\mathrm{A}_{(16)}
  3. a\mathrm{a}-z\mathrm{z} 的 ASCII 码是 61(16)61_{(16)}-7A(16)7\mathrm{A}_{(16)}

也就是说，大小写转换只需要在 ASCII 码上加减 20(16)20_{(16)}。

浮点数

应该是这章类型表示中最复杂的一部分了。使用的是 IEEE 754 标准，这里使用 3232 位的单精度浮点数来举例。

单精度浮点数的 3232 位分配如下：

  • 符号位 ss：11 位
  • 指数位 EE：88 位
  • 分数位 ff：2323 位

一般的书、教程都会直接丢一个公式上来，比如下面这个

n=(−1)s×2E−e×1.fn = (-1)^s \times 2^{E-e} \times 1.f

看起来比较吓人，然后开始依次讲解每个部分的意义。我觉得这样……很好。

符号位

这没啥好说的，00 表示正数，11 表示负数。

分数位

常用的科学计数法表示法，十进制中是 a.b1b2⋯bn×10pa.b_1 b_2 \cdots b_n \times 10^p，其中 a∈N∗, bi∈Na \in \N^{*},\, b_i \in \N，也就是说 aa 不为 00。

类似的，有二进制的「科学计数法」，即 a.b1b2⋯bn×2pa.b_1 b_2 \cdots b_n \times 2^p，这里 a,b∈{0,1}a, b \in \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace。同样的，aa 不为 00，可以简化为 1.b1b2⋯bn×2p  (b∈{0,1})1.b_1 b_2 \cdots b_n \times 2^p\;(b \in \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace)。这样最高位为 11，可以省去了 11 位，同样位数可以多表示一位。

这也就是上面公式的 1.f1.f 部分。

指数位

这部分是 2p2^p，在上面表示为 2E−e2^{E - e}，其中 ee 为偏置常数，在单精度浮点数中为 127127。

指数 88 位当作无符号整数，可以表示 00-255255，但是为了表示负指数，需要减去一个常数 ee，因此实际上可以表示 −127-127-128128。

至于为什么取 e=127e = 127，这个我搜了一下没找到原因。这里是我参考网上的信息，结合自己的猜测：基本上为了对称，偏置常数取中间两个数比较好，也就是 127127 和 128128。而如果采用 128128，那么仅仅是能表示一个更小的数，但是表示范围却大大减少了，而大部分情况下可能大的范围比小的范围价值更高（尤其在已经有一定小范围的情况下），在权衡之下，最终选择了 127127。

但是其实指数实际表示范围并不是 −127-127-128128，而是 −126-126-127127，因为 −127-127 和 128128 都进行了特殊化处理：

  • E=0E = 0：表示非规格化数，此时数值为 (−1)s×2−126×(0.f)(-1)^s \times 2^{-126} \times (0.f)（分数位开头变为 00），可以用来表示很小的数。
    • 特别的，f=0f = 0 时，表示的是 00（当然，这样的表示法有 +0.0+0.0 和 −0.0-0.0 之分）。
  • E=255E = 255：表示特殊数。
    • f=0f = 0：表示无穷大，正负由符号位决定。
    • f≠0f \neq 0：表示非数（NaN, Not a Number），用来表示不确定的结果，如 0.0/0.00.0 / 0.0。

对于双精度浮点数（6464 位），符号位为 11 位，指数位为 1111 位，分数位为 5252 位。（指数只需稍微增加一点，范围就会迅速增大，因此只需要稍微增加一点就可以满足大部分需求，而此时提高精度更有价值）