关系数据库

发表于 2025-02-27 更新于 2025-03-14 Waline：阅读次数：本文字数： 4.3k 阅读时长 ≈ 16 分钟

关系数据库中名词术语之间的对应关系：

关系模型理论	关系数据库管理系统（SQL）	文件系统
关系 relation	表 table	文件 set of records
属性 attribute	列 column	字段 field
元组 tuple	行 row	记录 record
关系模式 schema	表头 table heading	记录型 type of record
码 key	主码 primary key	-
候选码 candidate key	唯一码 unique	-

关系数据结构及形式化定义

域（Domain）

域（Domain）是具有相同数据类型的值的集合。

示例：

整数、实数
特定范围整数：[18, 60]
字符串集合：char(25)
枚举类型：{ '男', '女' }

同一域中元素互不相同。

笛卡尔积

给定域 $\left\lbrace D_1,D_2,...,D_n \right\rbrace$ ，其笛卡尔积为：

$D_1 \times D_2 \times ... \times D_n = \{(d_1,d_2,...,d_n) \mid d_i \in D_i, i=1,2,...,n\}$

特性：

每个元素称为 $n$ 元组
基数计算：若各域基数分别为 $m_1,m_2,...,m_n$ ，则总基数为 $\displaystyle \prod_{i=1}^{n} m_i$

关系（Relation）

可参考《离散数学》笔记。

关系（Relation）：逻辑上表示为二维表，数学上定义为笛卡尔积的子集。
元组（Tuple）：表中的一行，代表一个具体的记录。
属性（Attribute）：表中的一列，对应某一特定字段。
域（Domain）：属性值的取值范围，例如性别属性的域可以是「男, 女」。

符号约定

关系用大写字母 $R$ 表示。
元组用小写字母 $t$ 表示。
属性用 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 表示。
域用 $D_1, D_2, \dots, D_n$ 表示。

关系可以有三种类型：

基本关系（基本表或基表）：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。
查询表：查询结果对应的表，结果数据不需要持久存储。
视图表：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，结果数据也不需要持久存储。

查询表与视图表的区别

两者都有对应的数据库查询操作，但查询表对应的查询请求不需要保存在数据库中，而视图表对应的查询请求需要持久保存在数据库中。

说明：

上面所说的「表」的概念，一般只在关系数据库管理系统（即 SQL 语言）中使用
关系模型是一种逻辑数据模型，不涉及数据的物理存储，在关系模型理论中，其数据结构只有「关系」
在关系模型上进行数据操纵，其操作结果也构成一个「关系」（也可以通俗地称为「结果关系」「临时关系」或「中间关系」）

关系可以是一个无限集合，定义关系的笛卡尔积不满足交换律。因此使用「关系」来作为关系数据模型的数据结构时，需添加约束「关系是一个有限子集」与「笛卡尔积满足交换律」。

从而关系模型数据结构的「关系」具有以下性质：

列同质性：每一列中的分量来自同一个域，且具有相同的数据类型。
属性唯一性：每个属性必须有唯一的名称，即使不同属性可能共享相同的域。
列无序性：属性的排列顺序无关紧要，可以通过属性名访问特定列。
行唯一性：任意两个元组在候选码上的取值不能相同。
行无序性：元组的排列顺序无关紧要，可通过指定条件访问特定行。
原子性：每个分量必须是不可再分的最小数据项。

码的分类与作用

码（Key）是关系中用于唯一标识元组的属性或属性组，分为以下几类：

候选码（Candidate Key）：能唯一标识元组的最小属性组，简称码。
主码（Primary Key）：从候选码中选出的一个作为主码。
外码（Foreign Key）：引用其他关系主码的属性。
全码（All-Key）：当所有属性共同构成候选码时称为全码。

每个关系至少有一个候选码，这是关系模型的基本特性。

候选码中的诸属性称为该关系的主属性（prime attribute）。不包含在任何候选码中的属性称为非主属性（non-prime attribute）。

数据完整性约束

关系模型定义了三类完整性约束，以确保数据的正确性和一致性：

实体完整性（Entity Integrity）：主码中的属性不能取空值，且主码值必须唯一。2. 参照完整性（Referential Integrity）：外码要么为空，要么必须引用被参照关系中已存在的主码值。
用户定义完整性（User-Defined Integrity）：根据具体应用需求定义的约束条件，例如非空、唯一性或取值范围。

实体完整性

规则：主码中的属性不能取空值（NULL），且主码值必须唯一。
目的：保证每个元组的唯一性。

示例：

CREATE TABLE Students (
    学号 INT PRIMARY KEY, -- 整数类型；主码：唯一非空
    姓名 VARCHAR(50) NOT NULL, -- 可变长度字符串，最多 50 字符；非空
    性别 CHAR(1), -- 固定长度字符串，1 字符
    年龄 INT
);

参照完整性

规则：外码（Foreign Key）要么为空，要么必须引用被参照关系中已存在的主码值。
目的：维护关系间的引用一致性。

示例：

CREATE TABLE Enrollments (
    学号 INT,
    课程号 INT,
    成绩 DECIMAL(4,2), -- 小数类型，总位数 4 位，小数 2 位
    FOREIGN KEY (学号) REFERENCES Students(学号), -- 学号必须存在于 Students 表中，或为空
    FOREIGN KEY (课程号) REFERENCES Courses(课程号) -- 课程号必须存在于 Courses 表中，或为空
);

用户定义完整性

规则：根据具体应用需求定义的约束条件，例如非空、唯一性或取值范围。

示例：

CREATE TABLE Courses (
    课程号 INT PRIMARY KEY,
    课程名 VARCHAR(100) UNIQUE, -- 唯一（候选码）
    学分 INT CHECK (学分 BETWEEN 1 AND 4) -- 取值范围（微积分：你好）
);

关系模式与关系实例

关系模式（Relation Schema）：描述关系的结构，包括属性集合、域及完整性约束。
- 形式化表示： $R(U, D, \mathrm{DOM}, F)$ $R (U, D, DOM, F)$
  - $R$ ：关系名
  - $U$ ：属性集合
  - $D$ ：域集合
  - $\mathrm{DOM}$ ：属性到域的映射
  - $F$ ：完整性约束条件
关系实例（Relation Instance）：某一时刻关系的具体内容，即元组集合。

关系模式通常可以简记为 $R(U)$ 或 $R(A_1, A_2, \dots, A_n)$ ，其中 $A_i$ 为属性名， $U$ 为属性名集合， $R$ 为关系名。

关系操作

关系模型支持两类基本操作：查询和更新。这些操作可以进一步分解为以下五种基本关系操作：

选择（Selection）：从关系中筛选符合条件的元组。
投影（Projection）：从关系中提取指定的属性列。
笛卡尔积（Cartesian Product）：生成两个关系的所有组合。
并（Union）：合并两个关系的元组集合。
差（Difference）：从一个关系中移除另一个关系的元组。

graph TD
    A[关系操作] --> B[查询操作]
    A --> C[更新操作]
    B --> D[选择]
    B --> E[投影]
    B --> F[连接]
    C --> G[插入]
    C --> H[删除]
    C --> I[修改]

关系代数

概述

核心概念

关系代数（Relational Algebra）是一种抽象的查询语言，用关系运算表达对关系的操作：

运算对象和结果均为关系
包含集合运算和专门关系运算
表达式可表示数据查询、插入、删除和修改

运算分类

graph TD
    A[关系运算] --> B[集合运算]
    A --> C[专门关系运算]
    B --> D[并/差/交/笛卡尔积]
    C --> E[选择/投影/连接/除]

关键特性

集合操作：操作对象和结果都是元组集合
基本运算：并、差、笛卡尔积、选择、投影
运算符要求：需同时掌握执行条件和结果模式

基本运算体系

集合运算

并运算（Union）

前提条件：同类关系（同目且属性域相同）
数学表达： $R \cup S = \{ t \mid t \in R \lor t \in S \}$
操作符：R union S
特性：交换律、结合律

SQL 例子：

-- 选出所有选修了「数据库」或「数据结构」课程的学生
-- SC (Student Course) 表示学生选课关系表（学号，课程号）
SELECT 学号 FROM SC WHERE 课程号 = '数据库'
UNION
SELECT 学号 FROM SC WHERE 课程号 = '数据结构';

差运算（Difference）

数学表达： $R - S = \{ t \mid t \in R \land t \notin S \}$
操作符：R except S
典型应用：排除特定数据

SQL 例子：

-- 选出所有选修了「数据库」但未选修「数据结构」课程的学生
SELECT 学号 FROM SC WHERE 课程号 = '数据库'
EXCEPT
SELECT 学号 FROM SC WHERE 课程号 = '数据结构';

笛卡尔积（Cartesian Product）
- 结果模式： $n+m$ 列关系
- 数学表达： $R \times S = \{ (t_r,t_s) | t_r \in R \land t_s \in S \}$
- 操作符：R product S
- 注意：同名属性需重命名
- SQL 例子：
  1
  2
  -- 选出所有学生选修的课程
  SELECT * FROM Students, SC WHERE Students.学号 = SC.学号;

专门关系运算

选择（Selection）
- 前提条件：选择条件 $F$ 是一个只能由关系属性名、常量、运算符组成的逻辑表达式
- 数学表达： $\sigma_F(R) = \{ t \mid t \in R \land F(t) = \mathrm{True} \}$
- 操作符：R where F
- 执行逻辑：
  1
  2
  3
  4
  result = []
  for t in R:
  if F(t) == True:
  result.append(t) # 修改为将符合条件的元组添加到结果列表
- SQL 例子
  1
  2
  -- 选出所有年龄大于 18 岁的学生
  SELECT * FROM Students WHERE 年龄 > 18;
投影（Projection）
- 前提条件：属性集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 是关系 $R$ 的属性集的子集
- 数学表达： $\pi_{A_1,...,A_n}(R) = \{ t[A_1,...,A_n] \mid t \in R \}$
- 操作符：R[A1, A2, …, An]
- 去重机制：自动消除重复元组
- SQL 例子：
  1
  2
  -- 选出所有学生的学号和姓名
  SELECT 学号, 姓名 FROM Students;

记号系统与核心概念

符号	含义
$A, B, C, \dots, A_1, A_2, \dots$	大写字母表示属性名，小写字母表示属性值。例如：用 $A$ 表示属性名，用 $a$ 或 $a_1, a_2, \dots$ 表示属性 $A$ 的值
$X, Y, Z, \dots$	大写字母表示关系中的一个属性组/属性集
$R, S, T, \dots$	大写字母表示关系名，代表一个关系，或该关系的一个实例
$R(U)$	关系模式：关系名 $R$ , 关系中的属性集合 $U$
$r, s, t, \dots, r_1, r_2, \dots$	关系中的元组
$r_1[A]$	元组 $r_1$ 在属性（集） $A$ 上的取值

设关系模式为 $R(A_1, A_2, \dots, A_n)$ ：

它的一个关系（实例）设为 $R$
$t \in R$ 表示 $t$ 是 $R$ 中的一个元组
$t[A_i]$ 表示元组 $t$ 中相应于属性 $A_i$ 的一个分量（元组 $t$ 在属性 $A_i$ 上的值）
若 $A = \left\lbrace A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_{k}} \right\rbrace$ ，其中 $A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_{k}}$ 是来自于 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 中的属性，则 $A$ 称为「属性列」或「属性组」或「属性集」。
$t[A] = (t[A_{i_1}], t[A_{i_2}], \dots, t[A_{i_{k}}])$ 表示元组 $t$ 在属性组 $A$ 上诸分量的集合。
$\bar{A}$ 则表示从 $\left\lbrace A_1, A_2, \dots, A_n \right\rbrace$ 中去掉 $\left\lbrace A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_{k}} \right\rbrace$ 后剩余的属性组。

元组连接

元组连接：设 $R$ 为 $n$ 目关系， $S$ 为 $m$ 目关系，令 $t_r \in R, t_s \in S$ ，则 $\overgroup{t_r t}_s$ 表示来自不同关系的元组拼接。

这是一个 $n+m$ 列的元组，前 $n$ 列来自 $R$ 中元组 $t_r$ ，后 $m$ 列来自 $S$ 中元组 $t_s$ 。
可简记为 $(t_r, t_s)$

象集

象集（Image Set）：给定一个关系 $R(X, Z)$ ，其中 $X, Z$ 为属性组， $x$ 为属性组 $X$ 定义域上的一个值， $x$ 在 $R$ 中的象集定义为 $Z_x = \{ t[Z] \mid t \in R \land t[X] = x \}$ ，表示 $R$ 中属性组 $X$ 上值为 $x$ 的元组在属性组 $Z$ 上的值集合。

假设有一张订单表（相当于关系 $R$ ）：

订单号（ $X$ ）	菜品（ $Z$ ）	数量
1001	汉堡	2
1001	薯条	3
1002	炸鸡	1
1003	汉堡	1
1003	薯条	2

$X$ 属性组 = 订单号（单一属性）
$Z$ 属性组 = 菜品 + 数量（组合属性）

现在要查询订单号 1001 对应的所有菜品和数量，这就是象集的典型应用场景。

象集生成过程：

过滤：在订单表中筛选出 $X=1001$ 的元组

订单号（ $X$ ）菜品（ $Z$ ）数量

1001 汉堡 2

1001 薯条 3
投影：提取这些元组的 $Z$ 属性（菜品 + 数量）

菜品（ $Z$ ）数量

汉堡 2

薯条 3
结果：这个投影结果就是订单号 1001 的象集 $Z_{1001} = \{ (汉堡, 2), (薯条, 3) \}$

菜品（ $Z$ ）	数量
汉堡	2
薯条	3

对应 SQL 查询语句：

1 2	SELECT 菜品, 数量 FROM Orders WHERE 订单号 = 1001;

象集的本质：相当于数据库中的「条件投影」操作。可以理解为——当我们要回答「某个 $X$ 值对应的 $Z$ 值有哪些？」这类问题时，就是在求象集。

关系模式语义

同名同义原则：属性名相同则语义与域相同
重命名机制：通过赋值运算解决异名同义问题

扩展运算

交运算

交运算（Intersection）是关系代数中的一种集合运算，用于找出两个关系中共有的元组。

前提条件：两个关系必须是同类关系
- 具有相同的目（属性数量相同）
- 对应属性取自同一个域
数学表达： $R \cap S = \{ t \mid t \in R \land t \in S \}$
操作符：R intersect S
特性：
- 满足交换律： $R \cap S = S \cap R$
- 满足结合律： $(R \cap S) \cap T = R \cap (S \cap T)$
实现方式：交运算可以通过差运算实现
$R \cap S = R - (R - S) = S - (S - R)$

假设我们有两个表，分别记录了两场派对的参与者名单：

派对 A 的参与者名单：

姓名	年龄	性别
小明	20	男
小红	22	女
小刚	21	男

派对 B 的参与者名单：

姓名	年龄	性别
小红	22	女
小丽	23	女
小刚	21	男

计算过程：

$R - S$ : 只参加派对 A 的人

姓名年龄性别

小明 20 男
$S - R$ : 只参加派对 B 的人

姓名年龄性别

小丽 23 女
最终交集 $R \cap S$ : 同时参加了两场派对的人

姓名年龄性别

小红 22 女

小刚 21 男

姓名	年龄	性别
小丽	23	女

SQL 语句示例：

-- 查询同时喜欢苹果和香蕉的学生学号
SELECT 学号 FROM 喜欢水果 WHERE 水果 = '苹果'
INTERSECT -- 交集运算
SELECT 学号 FROM 喜欢水果 WHERE 水果 = '香蕉';

连接运算

连接运算是关系代数中的重要扩充运算，用于将两个关系根据特定条件合并。

$\theta$ -连接

$\theta$ -运算

定义：
$R \mathop{\Join}\limits_{A \mathop{\theta} B} S = \{(t_r, t_s) \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \mathop{\theta} t_s[B]\}$
操作符 $R \mathop{\Join}\limits_F S$ ：(R product S) where F
特点：
- 从笛卡尔积中选取满足特定条件的元组
- $\theta$ 可使用各种比较运算符（ $=, <, >$ 等）

等值连接

等值连接

定义：当 $\theta$ 为 $=$ 时的连接称为等值连接
$R \mathop{\Join}\limits_{A=B} S = \{(t_r, t_s) \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] = t_s[B]\}$
特点：保留重复列

假设我们有两个表：

学生表（Student）：记录学生的学号和姓名。

学号	姓名
1	小明
2	小红
3	小刚

选课表（CourseSelection）：记录学生选课的情况，包括学号和课程。

学号	课程
1	数学
1	英语
2	数学
4	物理

示例：找出学生及其选课情况。

SELECT *
FROM Student S
JOIN CourseSelection C
ON S.学号 = C.学号;

结果：

学号_S	姓名	学号_C	课程
1	小明	1	数学
1	小明	1	英语
2	小红	2	数学

解释：

条件是 S.学号 = C.学号，所以只有学号相同的记录会被保留。
结果中仍然包含重复列（如 学号_S 和 学号_C）。

自然连接

自然连接

定义：特殊的等值连接，基于同名属性进行连接并去除重复列
$R \mathop{\Join} S = \pi_{\text{distinct attr.}}(\sigma_{\text{common attr. equality}}(R \times S))$
操作符：R join S
特点：
- 同时从行和列的角度进行运算
- 结果关系模式为两个关系属性的并集

承接上面的示例：找出学生及其选课情况。

1
2
3

SELECT *
FROM Student S
NATURAL JOIN CourseSelection C;

结果：

学号	姓名	课程
1	小明	数学
1	小明	英语
2	小红	数学

解释：

自然连接会自动找到两个表中同名的列（这里是「学号」），并基于这些列进行等值连接。
结果中去掉了重复列（只有一个「学号」列）。

外连接

悬浮元组：在自然连接中被舍弃的不匹配元组
类型：
- 左外连接（⟕）：保留左侧关系的悬浮元组
  - 操作符：R left outer join S
- 右外连接（⟖）：保留右侧关系的悬浮元组
  - 操作符：R right outer join S
- 完全外连接（⟗）：同时保留两侧的悬浮元组
  - 操作符：R full outer join S

示例：找出所有学生及其选课情况（如果没有选课，则显示 NULL）。

SELECT *
FROM Student S
LEFT JOIN CourseSelection C
ON S.学号 = C.学号;

结果：

学号_S	姓名	学号_C	课程
1	小明	1	数学
1	小明	1	英语
2	小红	2	数学
3	小刚	NULL	NULL

解释：

左侧表（Student）中的所有记录都被保留。
如果某个学生没有选课（如小刚），则右侧表的字段显示为 NULL。

同理，右外连接和完全外连接的 SQL 语句与结果如下：

SELECT *
FROM Student S
RIGHT JOIN CourseSelection C
ON S.学号 = C.学号;

学号_S	姓名	学号_C	课程
1	小明	1	数学
1	小明	1	英语
2	小红	2	数学
NULL	NULL	4	物理

SELECT *
FROM Student S
FULL JOIN CourseSelection C
ON S.学号 = C.学号;

学号_S	姓名	学号_C	课程
1	小明	1	数学
1	小明	1	英语
2	小红	2	数学
3	小刚	NULL	NULL
NULL	NULL	4	物理

除运算

除运算是关系代数中用于处理「全部」类查询的重要运算。除运算的作用是从一个表中找出那些满足另一个表中「所有条件」的记录。

定义：
$R \div S = \{t_r[A] \mid t_r \in R \land \pi_Y(S) \subseteq Y_x\}$
其中 $Y_x$ 是 $x$ 在 $R$ 中的象集
操作符：R divideby S
推导公式：
$R \div S = \pi_{X}(R) - \pi_{X}((\pi_{X}(R) \times S) - R)$

推导步骤：

计算最大可能结果集 $T_{\max} = \pi_X(R)$
计算 $R_{\max} = T_{\max} \times S$
找出不符合条件的元组 $T_1 = R_{\max} - R$
投影得到不符合条件的 $X$ 值集合 $T_2 = \pi_X(T_1)$
最终结果 $R \div S = T_{\max} - T_2$

假设我们有两个表：

学生选课表：

学号	课程
1	数学
1	英语
1	物理
2	数学
2	英语
3	数学

课程表：

课程
数学
英语
物理

如果我们想找出选修了所有课程的学生，可以用除运算：

SELECT 学号
FROM 选课表
GROUP BY 学号
HAVING COUNT(DISTINCT 课程) = (SELECT COUNT(*) FROM 课程表);
-- DISTINCT 用于「去重」，若某个学生选修了重复的课程，只计算一次
-- COUNT(DISTINCT 课程) 计算每个学生选修的不同课程数量
-- COUNT(*) 计算课程表中的课程数量
-- HAVING 是 GROUP BY 的过滤条件，只保留满足条件的学生学号
-- 条件是选修的课程数量等于课程表中的课程数量，即选修了所有课程

结果：

学号
1

计算过程：

计算最大可能结果集 $T_{\max}$ ，即所有可能的学生的学号

学号

1

2

3
使用笛卡尔积将学生与所有课程组结合起来，得到理想状态的选课表

学号课程

1 数学

1 英语

1 物理

2 数学

2 英语

2 物理

3 数学

3 英语

3 物理
从理想选课表剔除实际选课表，得到不符合条件的学生

学号课程

2 物理

3 英语

3 物理
投影得到不符合条件的学生学号

学号

2

3
最终结果为 $T_{\max}$ 减去不符合条件的学生学号

学号

1

关系数据结构及形式化定义

关系（Relation）

码的分类与作用

数据完整性约束

实体完整性

参照完整性

用户定义完整性

关系模式与关系实例

关系操作

关系代数

概述

基本运算体系

集合运算

专门关系运算

记号系统与核心概念

元组连接

象集

关系模式语义

扩展运算

交运算

连接运算

θ\thetaθ-连接

等值连接

自然连接

外连接

除运算

$\theta$ -连接