常微分方程初步

一般来说，一个表示未知函数、未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，称为微分方程，微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数或偏导数的阶数，称为微分方程的阶。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程，否则成为偏微分方程。

形如

$$F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0$$

的等式称为以 $x$ 为自变量，$y(x)$ 为未知函数的 $n$ 阶常微分方程。本篇笔记基本只考虑常微分方程，即下面的微分方程如无特殊说明，指的都是常微分方程。

$n$ 阶微分方程有解 $y = \varphi(x, C_1, C_2, \cdots, C_n)$，其中 $C_1, C_2, \cdots, C_n$ 是 $\varphi$ 中 $n$ 个独立的任意常数，即 $C_1, C_2, \cdots, C_n$ 满足

$$\dfrac{D(\varphi, \varphi', \cdots, \varphi^{(n-1)})}{D(C_1, C_2, \cdots, C_n)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial \varphi}{\partial C_1} & \dfrac{\partial \varphi}{\partial C_2} & \cdots & \dfrac{\partial \varphi}{\partial C_n} \\ \dfrac{\partial \varphi'}{\partial C_1} & \dfrac{\partial \varphi'}{\partial C_2} & \cdots & \dfrac{\partial \varphi'}{\partial C_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial \varphi^{(n-1)}}{\partial C_1} & \dfrac{\partial \varphi^{(n-1)}}{\partial C_2} & \cdots & \dfrac{\partial \varphi^{(n-1)}}{\partial C_n} \end{vmatrix} \ne 0$$

则称 $y = \varphi(x, C_1, C_2, \cdots, C_n)$ 为方程 $F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0$ 的通解。

$n$ 阶微分方程的初始条件指的是 $x = x_0$ 时，有

$$\left\lbrace\begin{aligned} y &= y_0\\ \dfrac{\d y}{\d x} &= y_0'\\ &\kern{0.24em}\vdots\\ \dfrac{\d^{n-1} y}{\d x^{n-1}} &= y_0^{(n-1)} \end{aligned}\right.$$

其中 $y_0, y_0', \cdots, y_0^{(n-1)}$ 为常数。满足这些初始条件的微分方程称为初值问题。

若通解不能用显函数形式给出，而是以隐函数 $\Phi(x, y; C_1, C_2, \cdots, C_n) = 0$ 给出，则把其称为微分方程的隐式通解或通积分。

下面为了简单起见，将 $\displaystyle \int f(x) \d x$ 视为 $f(x)$ 的某一个原函数。

一阶微分方程初等解法

变量分离方程

形如

$$\dfrac{\d y}{\d x} = f(x) g(y)$$

的微分方程称为变量分离方程（或可分离变量的方程），其中 $f(x), g(y)$ 为连续函数。

若 $g(y) \ne 0$，则

$$\dfrac{\d y}{g(y)} = f(x) \d x$$

则有

$$\int \dfrac{\d y}{g(y)} = \int f(x) \d x + C\\$$

从而上式为方程的隐式通解。若存在 $y_0$ 使得 $g(y_0) = 0$，则 $y = y_0$ 满足方程，但不在通解表达式，因此该解称为奇解。

可化为变量分离方程的类型

形如

$$\dfrac{\d y}{\d x} = f(ax + by + c)$$

的微分方程。

令 $u = ax + by + c$，从而 $\d u = a \d x + b \d y$，于是

$$\dfrac{\d u}{\d x} = a + b \dfrac{\d y}{\d x}$$

则微分方程可化为

$$\dfrac{\d u}{\d x} = a + bf(u)$$

这样就化为了可分离变量的方程。若通解为 $u = \varphi(x, C)$，则方程通积分为

$$ax + by + c = \varphi(x, C)$$

---

形如

$$\dfrac{\d y}{\d x} = f\left(\dfrac{y}{x}\right)$$

的微分方程，称为一阶齐次微分方程。这里的「齐次」和后面将要提到的并不一致，这里的「齐次」指的是，$y, x$ 同时乘以一个非零常数，方程不变。

可化为可分离变量的方程。令 $u = \dfrac{x}{y}$，则 $ux = y$，微分得

$$\d y = u \d x + x \d u$$

于是

$$\dfrac{\d y}{\d x} = u + x \dfrac{\d u}{\d x}$$

方程化为

$$f(u) = u + x \dfrac{\d u}{\d x}$$

即

$$\dfrac{\d u}{\d x} = \dfrac{1}{x}(f(u) - u)$$

若通解为 $u = \varphi(x, C)$，则方程通积分为

$$\dfrac{y}{x} = \varphi(x, C)$$

---

形如

$$\dfrac{\d y}{\d x} = f\left( \dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} \right)$$

的微分方程，假设 $c_1, c_2$ 不全为零。当 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0$ 时（为零时分式上下除常数部分成比例），设

$$\left\lbrace\begin{aligned} a_1 (x + h) + b_1 (y + k) &= a_1 x + b_1 y + c_1 \\ a_2 (x + h) + b_2 (y + k) &= a_2 x + b_2 y + c_2 \end{aligned}\right.$$

即

$$\left\lbrace\begin{aligned} a_1 h + b_1 k &= c_1 \\ a_2 h + b_2 k &= c_2 \end{aligned}\right.$$

解得

$$\left\lbrace\begin{aligned} h &= \dfrac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \\ k &= \dfrac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \end{aligned}\right.$$

令 $u = x + h, v = y + k$，则

$$\begin{aligned} \dfrac{\d v}{\d u} &= \dfrac{\d y}{\d x} \\ &= f\left( \dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} \right) \\ &= f\left( \dfrac{a_1 u + b_1 v}{a_2 u + b_2 v} \right)\\ &= f\left( \dfrac{a_1 + b_1 \frac{v}{u}}{a_2 + b_2 \frac{v}{u}}\right) \end{aligned}$$

令 $w = \dfrac{v}{u}$，则

$$w + u \dfrac{\d w}{\d u} = f\left( \dfrac{a_1 + b_1 w}{a_2 + b_2 w} \right)$$

化为了齐次的形式，可由前面的方法解出。

也可以用课本上的方式

当 $\begin{vmatrix} a_1 & b_2 \\ a_2 & v_1 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0$ 时，令

$$\left\lbrace\begin{aligned} u &= a_1 x + b_1 y + c_1 \\ v &= a_2 x + b_2 y + c_2 \end{aligned}\right.$$

则

$$\left\lbrace\begin{aligned} \d u &= a_1 \d x + b_1 \d y \\ \d v &= a_2 \d x + b_2 \d y \end{aligned}\right.$$

于是

$$\left\lbrace\begin{aligned} \d x &= \dfrac{b_2 \d u - b_1 \d v}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \\ \d y &= \dfrac{-a_2 \d u + a_1 \d v}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \end{aligned}\right.$$

从而原方程可化为

$$\dfrac{a_1 \d v - a_2 \d u}{b_2 \d u - b_1 \d v} = f\left( \dfrac{u}{v} \right)$$

进一步地

$$\left( a_2 + b_2f\left( \dfrac{u}{v} \right) \right) d u = \left( a_1 + b_1f\left( \dfrac{u}{v} \right) \right) d v$$

这是一个齐次微分方程，可用前面的方式解决。

若 $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$，则存在 $k$ 使得 $(a_1, b_1) = k(a_2, b_2)$。此时令 $u = a_2 x + b_2 y$，有

$$\begin{aligned} \dfrac{\d u}{\d x} &= a_2 + b_2 \dfrac{\d y}{\d x}\\ &= a_2 + b_2 f\left( \dfrac{ku + c_1}{u + c_2} \right) \end{aligned}$$

化为了变量分离方程。

一阶线性微分方程

形如

$$\dfrac{\d y}{\d x} + P(x) y = Q(x)$$

的方程称为一阶线性微分方程。

当 $Q(x) \equiv 0$ 时，称为一阶齐次线性微分方程，否则称为一阶非齐次线性微分方程。

齐次的时候显然，方程化为

$$\dfrac{\d y}{\d x} + P(x) y = 0$$

即

$$y = C \exp\left( -\int P(x) \d x \right)$$

或者

$$\boxed{ y = C \e^{-\int P(x) \d x} }$$

对于非齐次的，注意到 $(uv)' = uv' + u'v$，而方程中 $\dfrac{\d y}{\d x}$ 就是 $v'$，$v$ 就是 $y$。可惜的是并不知道 $u$ 是什么。

但是可以两边同时乘一个函数 $t(x)$，使得 $u = t(x), u' = P(x) t(x)$ 就行了。

也即

$$\dfrac{\d t(x)}{\d x} = P(x) t(x)$$

转化为

$$\dfrac{\d t(x)}{\d x} - P(x) t(x) = 0$$

这就是原微分方程的齐次形式，即 $t(x) = C \exp\left( \displaystyle \int P(x) \d x \right)$，取 $C = 1$ 就是所谓的「积分因子」。

代回去有

$$\begin{aligned} \dfrac{\d }{\d x}\left[ \exp\left( \int P(x) \d x \right) y \right] &= \exp\left( \int P(x) \d x \right) Q(x)\\ \exp\left( \int P(x) \d x \right) y &= \int \exp\left( \int P(x) \d x \right) Q(x) \d x + C\\ y &= \exp\left( -\int P(x) \d x \right) \left[ \int \exp\left( \int P(x) \d x \right) Q(x) \d x + C \right] \end{aligned}$$

用 $\exp$ 似乎不太好看，换回原始形式就是

$$\boxed{ y = \e^{-\int P(x) \d x} \left( \int \e^{\int P(x) \d x} Q(x) \d x + C \right) }$$

而注意到 $C \e^{-\int P(x) \d x}$ 为齐次微分方程的通解，另一边为非齐次微分方程的特解，因此可以猜测一个结论——非齐次微分方程的通解为齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。

总结来说就是

对于一阶线性微分方程

$$\dfrac{\d y}{\d x} + P(x) y = Q(x)$$

有通解

$$y = \e^{-\int P(x) \d x} \left( \int \e^{\int P(x) \d x} Q(x) \d x + C \right)$$

伯努利方程

形如

$$\dfrac{\d y}{\d x} + P(x) y = Q(x) y^{\alpha}$$

其中 $P(x), Q(x)$ 为关于 $x$ 的连续函数，$\alpha \ne 0, 1$ 为常数，称为伯努利方程。

解法

伯努利方程可以转化为一阶线性微分方程。

$y \ne 0$ 时，等式两边同乘 $y^{-\alpha}$，得

$$y^{-\alpha} \dfrac{\d y}{\d x} + P(x) y^{1 - \alpha} = Q(x)$$

即

$$\dfrac{1}{1 - \alpha} \dfrac{\d y^{1-\alpha}}{\d x} + P(x) y^{1 - \alpha} = Q(x)$$

令 $u = y^{1-\alpha}$，则化为

$$\boxed{\dfrac{\d u}{\d x} + (1 - \alpha) P(x) u = (1 - \alpha) Q(x)}$$

这便是关于函数 $u(x)$ 的一阶线性微分方程。解出 $u(x)$，再令 $y = u^{\frac{1}{1-\alpha}}$ 即可。

另外，$\alpha > 0$ 时 $y \equiv 0$ 也满足方程，若特解不包含 $y = 0$，则需补上。

全微分方程与积分因子

全微分方程

考虑一阶微分方程

$$P(x, y) \d x + Q(x, y) \d y = 0$$

若存在函数 $\lambda(x, y)$，使得

$$\d \lambda = P(x, y) \d x + Q(x, y) \d y$$

则称 $P(x, y) \d x + Q(x, y)$ 为恰当微分，称上面的方程为全微分方程（也称为恰当方程）。

则 $\lambda(x, y) = C$ 为该全微分方程的隐式通解。

根据曲线积分和格林公式的相关知识，$P(x, y) \d x + Q(x, y) \d y$ 为恰当微分的充要条件是

$$\dfrac{\partial Q(x, y)}{\partial x} = \dfrac{\partial P(x, y)}{\partial y}$$

同时 $\lambda(x, y)$ 可由以下两个式子之一确定（$\lambda(x, y) = \displaystyle \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P(x, y) \d x + Q(x, y) \d y$，再选取其中一条直角折线进行积分）

$$\lambda(x, y) = \int_{x_0}^x P(x, y_0) \d x + \int_{y_0}^y Q(x, y) \d y$$

或

$$\lambda(x, y) = \int_{x_0}^x P(x, y) \d x + \int_{y_0}^{y} Q(x_0, y) \d y$$

其中 $(x_0, y_0)$ 为 $P, Q$ 公共定义域任意一点。

有时候也不必去计算曲线积分，例如

$$\e^{-y} \d x - (2y + x\e^y) \d y = 0$$

则有

$$\begin{aligned} \e^{-y} \d x - x \e ^{-y} \d y - 2y \d y &= \d C\\ \d (x\e^{-y}) - \d y^2 &= \d C\\ \d (x\e^{-y} - y^2) &= \d C \end{aligned}$$

积分因子

类似上面所谈到的积分因子，微分方程也有类似的概念。

若存在连续可微函数 $\mu(x, y)$，使得

$$\mu(x, y) P(x, y) \d x + \mu(x, y) Q(x, y) \d y = 0$$

为全微分方程，则称 $\mu(x, y)$ 为该方程的积分因子。

推导过程

设 $\mu(x, y)$ 为积分因子，那么

$$\dfrac{\partial \mu Q}{\partial x} = \dfrac{\partial \mu P}{\partial y}$$

即

$$P \dfrac{\partial \mu}{\partial y} - Q \dfrac{\partial \mu}{\partial x} = \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \mu$$

这是以 $\mu$ 为未知函数的一阶线性偏微分方程，通常通过这个方程进行积分因子的求解比较困难。但是在一些特殊的情形可以求出该方程的特解。

积分因子的存在性定理

设有定义在区域 $D \subset \R^2$ 上的一次微分形式

$$f(x, y) \d x + g(x, y) \d y$$

其中 $f, g$ 是两个连续可微函数。

对于任意一点 $(x_0, y_0) \in D$，若 $f(x_0, y_0),\, g(x_0, y_0)$ 不同时为零，则必有 $(x_0, y_0)$ 的一个邻域 $U \subset D$ 及定义在 $U$ 上的非零连续可微函数 $\mu(x, y)$ 使得

$$\mu(x, y) (f(x, y) \d x + g(x, y) \d y)$$

为 $U$ 上某个函数 $h(x, y)$ 的全微分。

设 $\mu = \mu(x)$，则可化为

$$-Q \dfrac{\d \mu}{\d x} = \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \mu$$

若 $\dfrac{1}{Q}\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right)$ 仅与 $x$ 有关，记为 $\varphi(x)$，则可化为

$$\d \ln \mu = -\varphi(x) \d x$$

得

$$\mu(x) = \e^{-\int \varphi(x) \d x}$$

从而有

若有 $\dfrac{1}{Q}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) = \varphi(x)$，则微分方程有积分因子

$$\mu(x) = \e^{-\int \varphi(x) \d x}$$

类似地，若有 $\dfrac{1}{P}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) = \varphi(y)$，则微分方程有积分因子

$$\mu(y) = \e^{\int \varphi(y) \d y}$$

---

若有 $\dfrac{1}{xP-yQ}\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) = \varphi(xy)$，则微分方程有积分因子

$$\mu(xy) = \e^{\int \varphi(xy) \d xy}$$

观察大法

1. $\d (xy) = y\d x + x \d y$
2. $\d (x^2 \pm y^2) = 2(x \d x \pm y \d y)$
3. $\d \left( \dfrac{y}{x} \right) = \dfrac{x \d y - y \d x}{x^2}$
4. $\d \left( \dfrac{x}{y} \right) = \dfrac{y \d x - x \d y}{y^2}$
5. $\d \left( \arctan \dfrac{y}{x} \right) = \dfrac{x \d y - y \d x}{x^2 + y^2}$
6. $\d \left( \ln \dfrac{x + y}{x - y} \right) = \dfrac{2(x \d y - y \d x)}{x^2 - y^2}$
7. $\d \left( \dfrac{x + y}{x - y} \right) = \dfrac{2(x \d y - y \d x)}{(x - y)^2}$

解的存在唯一性定理

本部分是打星号部分，仅作了解即可，并不在考试范围内，是大二开学返校前最后一天才开始补的原定任务。

函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上关于 $y$ 满足利普希茨条件（Lipschitz condition），当且仅当存在常数 $L > 0$，使得不等式

$$\left\lvert f(x, y_1) - f(x, y_2) \right\rvert \le L \left\lvert y_1 - y_2 \right\rvert$$

对任意 $(x, y_1), (x, y_2) \in D$ 成立。其中 $L$ 称为利普希茨常数。

考虑一阶微分方程

$$\begin{equation} \dfrac{\d y}{\d x} = f(x, y) \label{1} \end{equation}$$

皮卡存在唯一性定理（Picard's existence and uniqueness theorem）

若 $f(x, y)$ 在闭区域 $D\colon |x - x_0| \le a, |y - y_0| \le b$ 上连续且关于 $y$ 满足利普希茨条件，则方程 $\eqref{1}$ 存在唯一解 $y = \varphi(x)$。

其中它在 $|x - x_0| \le h$ 上连续，且满足初始条件 $\varphi(x_0) = y_0$。这里 $h = \min \left\lbrace a, \dfrac{b}{M} \right\rbrace,\, M = \max\limits_{(x, y) \in D} |f(x, y)|$

证明

为了方便，仅就 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 证明。

引理 1

$y = \varphi(x)$ 是方程 $\eqref{1}$ 的定义在区间 $x_0 \le x \le x + h$ 且满足初始条件 $\varphi(x_0) = y_0$ 的解，当且仅当 $y = \varphi(x)$ 在该区间上连续且满足

$$\varphi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(x, y) \d x\quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

由于 $y = \varphi(x)$ 是方程 $\eqref{1}$ 的解，所以有

$$\dfrac{\d \varphi(x)}{\d x} = f(x, \varphi(x))$$

从 $x_0$ 到 $x$ 积分，得

$$\varphi(x) - \varphi(x_0) = \int_{x_0}^x f(x, \varphi(x)) \d x\quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

由于 $\varphi(x_0) = y_0$，所以

$$\varphi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(x, \varphi(x)) \d x\quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

证毕。

另一方面，若 $\varphi(x)$ 满足上式，则

$$\dfrac{\d \varphi(x)}{\d x} = f(x, \varphi(x))\quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

代入 $x = x_0$，得得 $\varphi(x_0) = y_0$，所以 $\varphi(x)$ 是满足初始条件 $\varphi(x_0) = y_0$ 的解。

引理 2

构造皮卡逐步逼近函数序列如下

$$\left\lbrace\begin{aligned} \varphi_0(x_0) &= y_0,\\ \varphi_n(x) &= y_0 + \int_{x_0}^x f\left( t, \varphi_{n-1}(t) \right) \d t\quad (x_0 \le x \le x_0 + h) \end{aligned}\right.$$

则有对于所有的 $n$，$\varphi_n(x)$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上连续，且满足

$$\left\lvert \varphi_n(x) - y_0 \right\rvert \le b$$

采用数学归纳法证明。

$n = 1$ 时，$\displaystyle \varphi_1(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y_0)\d t$。显然 $\varphi_1(x)$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上有定义且连续，同时

$$\begin{aligned} \left\lvert \varphi_1(x) - y_0 \right\rvert &= \left\lvert \int_{x_0}^x f(t, y_0) \d t \right\rvert\\ &\le \int_{x_0}^x \left\lvert f(t, y_0) \right\rvert \d t\\ &\le \int_{x_0}^x M \d t\\ &= M(x - x_0)\\ &\le Mh\\ &\le b \end{aligned}$$

故 $n = 1$ 时结论成立。

假设 $n = k$ 时结论成立，即 $\varphi_k(x)$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上连续，且满足 $\left\lvert \varphi_k(x) - y_0 \right\rvert \le b$。则

$$\varphi_{k+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, \varphi_k(t)) \d t$$

由于 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，所以 $f(t, \varphi_k(t))$ 在 $x_0 \le t \le x_0 + h$ 上连续，从而 $\varphi_{k+1}(x)$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上连续。又

$$\begin{aligned} \left\lvert \varphi_{k+1}(x) - y_0 \right\rvert &= \left\lvert \int_{x_0}^x f(t, \varphi_k(t)) \d t \right\rvert\\ &\le \int_{x_0}^x \left\lvert f(t, \varphi_k(t)) \right\rvert \d t\\ &\le \int_{x_0}^x M \d t\\ &= M(x - x_0)\\ &\le Mh\\ &\le b \end{aligned}$$

故 $n = k + 1$ 时结论成立。

综上，对于所有的 $n$，$\varphi_n(x)$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上连续，且满足 $\left\lvert \varphi_n(x) - y_0 \right\rvert \le b$。

引理 3

函数序列 $\left\lbrace \varphi_n(x) \right\rbrace$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上一致收敛于某个函数 $\varphi(x)$。

函数项级数

$$\varphi_0(x) + \sum_{k=1}^{\infty}\left[ \varphi_{k}(x) - \varphi_{k-1}(x) \right] \quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

的部分和为

$$\varphi_0(x) + \sum_{k=1}^{n}\left[ \varphi_{k}(x) - \varphi_{k-1}(x) \right]$$

只需证明这个级数在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上一致收敛即可。

现用数学归纳法证明

$$\left\lvert \varphi_{k} - \varphi_{k-1}(x) \right\rvert \le \dfrac{ML^{k-1}}{k!}(x-x_0)^{k},\quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

当 $k = 1$ 时，为

$$\left\lvert \varphi_{1} - \varphi_{0}(x) \right\rvert = \left\lvert \int_{x_0}^x f(t, y_0) \d t \right\rvert \le M(x - x_0)$$

即 $k = 1$ 时结论成立。假设 $k = n$ 时结论成立，即

$$\left\lvert \varphi_{n} - \varphi_{n-1}(x) \right\rvert \le \dfrac{ML^{n-1}}{n!}(x-x_0)^{n},\quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

则

$$\begin{aligned} \left\lvert \varphi_{n+1} - \varphi_{n}(x) \right\rvert &= \left\lvert \int_{x_0}^x f(t, \varphi_n(t)) \d t - \int_{x_0}^x f(t, \varphi_{n-1}(t)) \d t \right\rvert\\ &\le \int_{x_0}^x \left\lvert f(t, \varphi_n(t)) - f(t, \varphi_{n-1}(t)) \right\rvert \d t\\ &\le L \int_{x_0}^x \left\lvert \varphi_n(t) - \varphi_{n-1}(t) \right\rvert \d t\\ &\le \dfrac{ML^n}{n!} \int_{x_0}^x (t - x_0)^n \d t\\ &= \dfrac{ML^n}{n!} \dfrac{(x - x_0)^{n+1}}{n+1}\\ &= \dfrac{ML^{n+1}}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \end{aligned}$$

故 $k = n + 1$ 时结论成立，归纳得证。

从而

$$\left\lvert \varphi_{k} - \varphi_{k-1}(x) \right\rvert \le \dfrac{ML^{k-1}}{k!}(x-x_0)^{k} \le \dfrac{ML^{k-1}}{k!}h^{k},\quad (x_0 \le x \le x_0 + h)$$

由于 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{ML^{k-1}}{k!}h^{k}$ 收敛，所以 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \left\lvert \varphi_{k} - \varphi_{k-1}(x) \right\rvert$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上一致收敛（强级数判别法），记 $\varphi(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \varphi_n(x)$，则 $\varphi(x)$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上有定义且连续，同时有

$$\left\lvert \varphi(x) - y_0 \right\rvert \le b$$

证毕。

引理 4

当 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 时有

$$\varphi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, \varphi(t)) \d t$$

对皮卡逐步逼近函数序列 $\left\lbrace \varphi_n(x) \right\rbrace$ 两边取极限，得

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \varphi_n(x) &= y_0 + \lim_{n \to \infty} \int_{x_0}^x f(t, \varphi_{n-1}(t)) \d t\\ &= y_0 + \int_{x_0}^x \lim_{n\to \infty}f(t, \varphi_{n-1}(t)) \d t \end{aligned}$$

得

$$\varphi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, \varphi(t)) \d t$$

证毕。

引理 5

函数 $\varphi(x)$ 是方程 $\eqref{1}$ 满足初始条件 $\varphi(x_0) = y_0$ 的唯一解。

设 $y = \phi(x)$ 也是方程 $\eqref{1}$ 满足初始条件 $\phi(x_0) = y_0$ 的解，则

$$\phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, \phi(t)) \d t$$

现证明

$$\left\lvert \phi(x) - \varphi_n(x) \right\rvert \le \dfrac{ML^{n}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

采用数学归纳法证明。

当 $n = 0$ 时，有

$$\begin{aligned} \left\lvert \phi(x) - \varphi_0(x) \right\rvert &= \left\lvert \int_{x_0}^x f(t, \phi(t)) \d t \right\rvert\\ &\le \int_{x_0}^x \left\lvert f(t, \phi(t)) \right\rvert \d t\\ &\le M(x - x_0) \end{aligned}$$

即 $n = 0$ 时结论成立。假设 $n = k$ 时结论成立，即

$$\left\lvert \phi(x) - \varphi_k(x) \right\rvert \le \dfrac{ML^{k}}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}$$

则

$$\begin{aligned} \left\lvert \phi(x) - \varphi_{k+1}(x) \right\rvert &= \left\lvert \int_{x_0}^x f(t, \phi(t)) \d t - \int_{x_0}^x f(t, \varphi_k(t)) \d t \right\rvert\\ &\le \int_{x_0}^x \left\lvert f(t, \phi(t)) - f(t, \varphi_k(t)) \right\rvert \d t\\ &\le L \int_{x_0}^x \left\lvert \phi(t) - \varphi_k(t) \right\rvert \d t\\ &\le \dfrac{ML^{k+1}}{(k+1)!} \int_{x_0}^x (t - x_0)^{k+1} \d t\\ &= \dfrac{ML^{k+1}}{(k+2)!} (x - x_0)^{k+2} \end{aligned}$$

故 $n = k + 1$ 时结论成立，归纳得证。

从而

$$\left\lvert \phi(x) - \varphi_n(x) \right\rvert \le \dfrac{ML^{n}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \le \dfrac{ML^{n}}{(n+1)!}h^{n+1}$$

又

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{ML^{n}h^{n+1}}{(n+1)!} = 0$$

从而 $\left\lbrace \varphi_n(x) \right\rbrace$ 在 $x_0 \le x \le x_0 + h$ 上一致收敛于 $\varphi(x)$。由收敛函数的唯一性可知，$\phi(x) = \varphi(x)$，即 $\varphi(x)$ 是方程 $\eqref{1}$ 满足初始条件 $\varphi(x_0) = y_0$ 的唯一解。

由五个引理依次推论，就完成了证明。

高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程

形如

$$y^{(n)} = f(x)$$

的微分方程。显然 $\displaystyle y^{(n-1)} = \int f(x) \d x + C_1,\, y^{(n-2)} = \int \left( \int f(x) \d x + C_1 \right) \d x + C_2 = \int \d x \int f(x) \d x + C_1 x + C_2,\, \cdots$。

以此类推，得到含有 $n$ 个任意独立常数 $C_i$ 的解，即通解。

---

形如

$$f(x, y', y'') = 0$$

的微分方程。

这种方程中不显含 $y$，可令 $y' = p(x)$，则 $y'' = \dfrac{\d p}{\d x}$，则可化为

$$f\left(x, p, \dfrac{\d p}{\d x}\right) = 0$$

这就是以 $x$ 为自变量，以 $p$ 为未知函数的一阶微分方程。若能解得其通解 $p = \varphi(x, C_1)$，则有 $\dfrac{\d y}{\d x} = \varphi(x, C_1)$ 又是一个以 $x$ 为自变量，以 $y$ 为未知函数的一阶微分方程，可解得 $y = \psi(x, C_1, C_2)$，这就是原方程的通解。

---

形如

$$f(y, y', y'') = 0$$

的微分方程。

这种方程中不显含 $x$，可令 $y' = p(y)$，则 $y'' = \dfrac{\d p}{\d x} = \dfrac{\d p}{\d y} \dfrac{\d y}{\d x} = p \dfrac{\d p}{\d y}$，则可化为

$$f\left(y, p, p \dfrac{\d p}{\d y}\right) = 0$$

这就是以 $y$ 为自变量，以 $p$ 为未知函数的一阶微分方程。若能解得其通解 $p = \varphi(y, C_1)$，则有 $\dfrac{\d y}{\d x} = \varphi(y, C_1)$ 又是一个以 $y$ 为自变量，以 $x$ 为未知函数的一阶微分方程，可解得 $x = \psi(y, C_1, C_2)$，这就是原方程的通解。

二阶线性微分方程

$n$ 阶线性微分方程一般形式为

$$y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x) y = f(x)$$

当 $f(x) \equiv 0$ 时，对应的方程

$$y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x) y = 0$$

称为 $n$ 阶齐次线性微分方程，否则称为 $n$ 阶非齐次线性微分方程。

本节主要讨论二阶线性微分方程，即形如

$$y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$$

的方程称为二阶线性微分方程。

朗斯基行列式

设 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 $(n-1)$ 阶可微函数，行列式 $W_{ij}(x) = y_{j}^{(i-1)}(x)$，或写成

$$W(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}$$

称为 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 的朗斯基行列式（Wronski determinant）。

设 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 为上面的 $n$ 阶齐次线性微分方程的解，它们均在 $[a, b]$ 上有定义，若其朗斯基行列式在 $[a, b]$ 上恒为 $0$，则称 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 线性相关；否则则称 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 线性无关。

若一组函数在某一点线性无关，则在其它点也线性无关，即若朗斯基行列式在某点等于 $0$，则其在整个区间上恒等于 $0$。

刘维尔公式

设 $y_1(x), y_2(x)$ 是二阶齐次线性微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的两个解，则它们的朗斯基行列式满足

$$W(x) = W(x_0) \e^{-\int_{x_0}^x p(x) \d x}$$

其中 $x_0 \in [a, b]$ 为任意一点。

二阶齐次线性微分方程解的结构

设 $y_1(x), y_2(x)$ 是二阶线性微分方程的两个线性无关的特解，则该方程通解为

$$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$$

其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。

---

由题意

$$\left\lbrace\begin{aligned} y_1'' + p(x) y_1' + q(x) y_1 &= 0 \\ y_2'' + p(x) y_2' + q(x) y_2 &= 0 \end{aligned}\right.$$

将 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 代入方程得

$$\begin{aligned} y'' + p(x) y' + q(x) y &= C_1 y_1'' + C_2 y_2'' + p(x) (C_1 y_1' + C_2 y_2') + q(x) (C_1 y_1 + C_2 y_2) \\ &= C_1 (y_1'' + p(x) y_1' + q(x) y_1) + C_2 (y_2'' + p(x) y_2' + q(x) y_2) \\ &= 0 \end{aligned}$$

因为 $y_1(x), y_2(x)$ 线性无关，所以

$$W(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} \ne 0$$

则

$$\dfrac{D(y, y')}{D(C_1, C_2)} = W(x) \ne 0$$

则 $C_1, C_2$ 为 $y$ 中两个独立的任意常数，故 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 为方程的通解。

推广有

设 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 是 $n$ 阶齐次线性微分方程

$$y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + p_2(x) y^{(n-2)} + \cdots + p_n(x) y = 0$$

的 $n$ 个线性无关的解，则该方程的通解为

$$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x)$$

其中 $C_1, C_2, \cdots, C_n$ 为任意常数。

二阶非齐次线性微分方程解的结构

设 $y_1^{*}(x)$ 是二阶非齐次线性微分方程 $y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$ 的一个特解，$y_2^{*}(x)$ 是对应的齐次线性微分方程的通解，则 $y = y_1^{*}(x) + y_2^{*}(x)$ 是非齐次线性微分方程的通解。

因此还有：若 $y_1^{*}(x), y_2^{*}(x)$ 是非齐次线性微分方程的两个特解，则其对应的齐次线性微分方程的通解为 $y = y_1^{*}(x) - y_2^{*}(x)$。

常数变易法

设 $y_1(x), y_2(x)$ 是二阶齐次线性微分方程 $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$ 的两个线性无关的解，则 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是该方程的通解，接下来寻求方程形如

$$\begin{equation} y^{*} = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) \label{2} \end{equation}$$

的特解。即将任意常数 $C_1, C_2$ 换成了两个待定函数 $C_1(x), C_2(x)$，因此称为常数变易法。

两边求导得

$$(y^{*})' = C_1(x) y_1'(x) + C_2(x) y_2'(x) + C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x)$$

只需找出某一对 $C_1(x), C_2(x)$，使得 $y^{*}$为二阶齐次线性微分方程的解即可。即为此令

$$C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x) = 0$$

这样可以避免出现 $C_1(x), C_2(x)$ 的二阶导数。因此有

$$(y^{*})' = C_1(x) y_1'(x) + C_2(x) y_2'(x)$$

再求一次导数

$$(y^{*})'' = C_1(x) y_1''(x) + C_2(x) y_2''(x) + C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x)$$

代入原方程得

$$\begin{aligned} (y^{*})'' &= C_1(x) y_1''(x) + C_2(x) y_2''(x) + C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x)\\ (y^{*})'' + \textcolor{FF9900}{p(x) (y^{*})'} + \textcolor{00B050}{q(x) y^{*}} &= C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x) +\\ &\phantom{=} C_1(x) \left( y_1''(x) + \textcolor{FF9900}{p(x)y_1'(x)} + \textcolor{00B050}{q(x)y_1(x)} \right) +\\ &\phantom{=} C_2(x) \left( y_2''(x) + \textcolor{FF9900}{p(x)y_2'(x)} + \textcolor{00B050}{q(x)y_2(x)} \right)\\ f(x) &= C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x) \end{aligned}$$

联立有

$$\left\lbrace\begin{aligned} C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x) &= 0\\ C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x) &= f(x) \end{aligned}\right.$$

该方程组系数矩阵行列式恰为关于 $y_1(x), y_2(x)$ 的朗斯基行列式 $W(x)$，由于 $y_1(x), y_2(x)$ 线性无关，故 $W(x) \ne 0$，因此该方程组能唯一解出 $C_1'(x), C_2'(x)$，积分后可得 $C_1(x), C_2(x)$，于是就能找到形如 $y^{*} = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x)$ 的特解。

即

若函数 $C_1(x), C_2(x)$ 满足方程组

$$\left\lbrace\begin{aligned} C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x) &= 0\\ C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x) &= f(x) \end{aligned}\right.$$

其中 $y_1(x), y_2(x)$ 为齐次线性微分方程

$$y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$$

的两个线性无关的解，则非齐次线性微分方程

$$y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$$

有特解

$$y^{*} = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x)$$

推广有

若函数 $C_1(x), C_2(x), \cdots, C_n(x)$ 满足方程组

$$\left\lbrace\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} C_i'(x) y_i(x) &= 0\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} C_i'(x) y_i'(x) &= 0\\ \vdots\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} C_i'(x) y_i^{(n-2)}(x) &= 0\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} C_i'(x) y_i^{(n-1)}(x) &= f(x)\\ \end{aligned}\right.$$

其中 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 为齐次线性微分方程

$$y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + p_2(x) y^{(n-2)} + \cdots + p_n(x) y = 0$$

的 $n$ 个线性无关的解，则非齐次线性微分方程

$$y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + p_2(x) y^{(n-2)} + \cdots + p_n(x) y = f(x)$$

有特解

$$y^{*} = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) + \cdots + C_n(x) y_n(x)$$

二阶线性常系数微分方程

当 $p(x), q(x)$ 是常数 $p, q$ 时，二阶线性微分方程变为

$$y'' + py' + qy = f(x)$$

称为二阶线性常系数微分方程。

高阶同理

$$y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + p_2 y^{(n-2)} + \cdots + p_n y = f(x)$$

称为 $n$ 阶线性常系数微分方程。

考虑齐次方程

$$y'' + p y' + q y = 0$$

设 $y = \e^{\lambda x}$，则有

$$\e^{\lambda x}(\lambda^2 + p\lambda + q) = 0$$

即 $\lambda^2 + p \lambda + q = 0$，该方程称为特征方程。因为若该方程若能给出不同的两个解，则得到了两个线性无关的解，从而得到了通解。

$p^2 - 4q > 0$ 时特征方程有二实根 $\lambda_1, \lambda_2$，通解为 $y = C_1 \e^{\lambda_1 x} + C_2 \e^{\lambda_2 x}$。

$p^2 - 4q = 0$ 时特征方程有重根 $\lambda$，此时有一个特解 $y_1 = \e^{\lambda x}$，为求另一个特解 $y_2$，由刘维尔公式

$$\begin{aligned} W(x) &= \begin{vmatrix} \e^{\lambda x} & y_2(x)\\ \lambda \e^{\lambda x} & y_2'(x) \end{vmatrix}\\ &= c_1 \e^{-px} \end{aligned}$$

化简后有

$$y_2' - \lambda y_2 = c_1\e^{-(p+\lambda)x}$$

得

$$y_2 = \e^{\lambda x}(c_2 + c_1x)$$

取 $c_2 = 0, c_1 = 1$ 得 $y_2 = x \e^{\lambda x}$，因此通解为 $y = (C_1 + C_2 x) \e^{\lambda x}$。

$p^2 - 4q < 0$ 时特征方程有共轭复根 $\alpha \pm \beta \i$，则通解为

$$\begin{aligned} C_1^{*} \e^{(\alpha + \beta \i)x} + C_2^{*} \e^{(\alpha - \beta \i)x} &= \e^{\alpha x} \left(C_1^{*} \e^{\beta \i x} + C_2^{*} \e^{-\beta \i x}\right)\\ &= \e^{\alpha x} \left(C_1^{*} \cos \beta x + C_1^{*} \i \sin \beta x + C_2^{*} \cos \beta x - C_2^{*} \i \sin \beta x\right)\\ &= \e^{\alpha x} \left((C_1^{*} + C_2^{*}) \cos \beta x + (C_1^{*} - C_2^{*}) \i \sin \beta x\right)\\ &= \e^{\alpha x}\left(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x\right) \end{aligned}$$

总结有

设二阶齐次线性常系数微分方程为

$$y'' + py' + qy = 0$$

则有

1. $p^2 - 4q > 0$：通解为 $y = C_1 \e^{\lambda_1 x} + C_2 \e^{\lambda_2 x}$
   • $\lambda_1, \lambda_2$ 是特征方程二实根
2. $p^2 - 4q = 0$：通解为 $y = (C_1 + C_2 x) \e^{\lambda x}$
3. $p^2 - 4q < 0$：通解为 $y = \e^{\alpha x}\left(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x\right)$
   • $\alpha = -\dfrac{p}{2}$
   • $\beta = \dfrac{\sqrt{4q - p^2}}{2}$

对于 $n$ 阶齐次线性常系数微分方程

$$y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + p_2 y^{(n-2)} + \cdots + p_n y = 0$$

特征方程为

$$\lambda^n + p_1 \lambda^{n-1} + p_2 \lambda^{n-2} + \cdots + p_n = 0$$

其 $n$ 个特征根为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$（允许有重根），则

特征根	对应的线性无关的特解
$k$ 重实根 $\lambda$	$\e^{\lambda x}, \cdots, x^{k-1}\e^{\lambda x}$
$k$ 重共轭复根 $\alpha \pm \beta \i$	$\e^{\alpha x} \cos \beta x, \e^{\alpha x} \sin \beta x, \cdots, x^{k-1}\e^{\alpha x} \cos \beta x, x^{k-1}\e^{\alpha x} \sin \beta x$

对于非齐次，常数变易法比较麻烦。对于特定形式的 $f(x)$，有待定系数法。

设 $f(x) = A_m(x)\e^{\mu x}$，其中 $\mu$ 为实常数，$A_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式，则方程有形如

$$y^{*} = x^k B_m(x)\e^{\mu x}$$

的特解，其中 $k$ 为 $\mu$ 在特征方程 $\lambda^2 + p \lambda + q = 0$ 的根的重数（$\mu$ 不是特征根时令 $k = 0$），$B_m(x)$ 为待定的 $x$ 的 $m$ 次多项式。

证明

(1) $\mu = 0$

$$f(x) = A_m(x)$$

(1.1) 若 $\mu$ 不是特征根，则 $q \ne 0$，设 $y^{*} = x^k B_m(x)$，代入方程左边。

此时方程左右两边均为关于 $x$ 的 $m$ 次多项式，对比系数可确定 $B_m(x)$。

(1.2) 若 $0$ 为特征方程的单根，则 $q = 0, p \ne 0$。

若解内仍为 $m$ 阶多项式，因 $q = 0$，左边只有 $m-1$ 次，因而无解。故解内为 $m + 1$ 阶多项式。

(1.3) 若 $0$ 为特征方程的重根，则 $q = p = 0$。

若解内多项式次数小于 $m+2$，因 $p = q = 0$，左边小于 $m$ 次，无解。故解内为 $m + 2$ 阶多项式。

(2) $\mu \ne 0$

$$f(x) = A_m(x)\e^{\mu x}$$

令 $z = y \e^{-\mu x}$，即 $y = z \e^{\mu x}$。

从而 $y' = \e^{\mu x}(z' + \mu z), y'' = \e^{\mu x}(z'' + 2 \mu z' + \mu^2 z)$，代入方程得

$$\begin{aligned} \e^{\mu x}(z'' + 2 \mu z' + \mu^2 z) + \e^{\mu x}p(z' + \mu z) + \e^{\mu x}qz &= A_m(x) \e^{\mu x}\\ z'' + (2\mu + p)z' + (\mu^2 + p\mu + q)z &= A_m(x) \end{aligned}$$

这便化为了 (1) 的情形（新特征方程为 $\eta^2 + (2 \mu + p) \eta + (\mu^2 + p \mu + q)$，$\eta = 0$ 是不是该特征方程的根，等价于 $\mu^2 + p \mu + q$ 是否为 $0$，也即 $\mu$ 是否为原特征方程的根。根的重数也是一样的）。

设 $f(x) = \left( A_s(x) \cos \beta x + B_t(x) \sin \beta x \right) \e^{\alpha x}$，其中 $\alpha, \beta$ 为实常数，$A_s(x), B_t(x)$ 分别为 $x$ 的 $s, t$ 次多项式。令 $m = \max\left\lbrace s, t \right\rbrace$，则方程有形如

$$y^{*} = x^k \left( P_m(x) \cos \beta x + Q_m(x) \sin \beta x \right) \e^{\alpha x}$$

的特解，其中 $k$ 为 $\alpha \pm \beta \i$ 在特征方程 $\lambda^2 + p \lambda + q = 0$ 的根的重数，$P_m(x), Q_m(x)$ 为待定的 $x$ 的 $m$ 次多项式。

证明

$$\begin{aligned} f(x) &= \left[ A_s(x) \cos \beta x + B_t(x) \sin \beta x \right] \e^{\alpha x}\\ &= \e^{\alpha x} \left( A_s(x) \dfrac{\e^{\beta x \i} + \e^{-\beta x \i}}{2} + B_t(x) \dfrac{\e^{\beta x \i} - \e^{-\beta x \i}}{2\i} \right)\\ &= \left( \dfrac{A_s(x)}{2} + \dfrac{B_t(x)}{2 \i} \right) \e^{(\alpha + \beta \i)x} + \left( \dfrac{A_s(x)}{2} - \dfrac{B_t(x)}{2 \i} \right) \e^{(\alpha - \beta \i)x} \end{aligned}$$

使用上面的结论即可。

欧拉方程

形如

$$x^n y^{(n)} + p_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + p_n y = f(x)$$

的 $n$ 阶线性微分方程称为 $n$ 阶欧拉方程。其中 $p_i$ 为常数，$f(x)$ 为连续函数。

本节主要讨论二阶欧拉方程，即

$$x^2 y'' + p_1 x y' + p_2 y = f(x)$$

令 $x = \e^t$，则

$$\begin{aligned} \dfrac{\d y}{\d x} &= \dfrac{\d y}{\d t} \dfrac{\d t}{\d x} = \dfrac{1}{x} \dfrac{\d y}{\d t}\\ \dfrac{\d^2 y}{\d x^2} &= -\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\d y}{\d t} + \dfrac{1}{x} \dfrac{\d t}{\d x}\dfrac{\d \frac{\d y}{\d t}}{\d t} = \dfrac{1}{x^2} \left[ \dfrac{\d }{\d t}\left( \dfrac{\d }{\d t} - 1 \right) \right] y \end{aligned}$$

代入得

$$\dfrac{\d^2 y}{\d t^2} + (p_1 - 1) \dfrac{\d y}{\d t} + p_2 y = f(\e^t)$$

即成为了二阶常系数线性微分方程。可用前面的方法求解。

$x < 0$ 时，可令 $t = \ln |x|$，其它同理。